Глоссарий теории групп

В этой статье приведены основные термины, используемые в теории групп. Курсив обозначает внутреннюю ссылку на данный глоссарий. В конце приводится таблица основных обозначений➤, применяемых в теории групп.

# А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

P

$p$ -группа: Группа, для которой существует такое простое число $p$ , что порядок каждого её элемента является некоторой степенью этого числа. Конечная $p$ -группа также называется примарной.

А

Абелева группа: То же, что и коммутативная группа.
Абелианизация: Факторгруппа по коммутанту, то есть, для группы $G$ ― $G/[G,G]$ .
Аддитивная группа кольца: Группа, элементами которой являются все элементы данного кольца, а операция совпадает с операцией сложения в кольце.
Антигомоморфизм групп: Отображение групп $f:(G,*)\to (H,\times )$ такое, что $f(a*b)=f(b)\times f(a)$ для произвольных $a$ и $b$ в $G$ (сравните с гомоморфизмом).
Абсолютно регулярная $p$ -группа: Конечная $p$ -группа, в которой $|G:pG|<p^{p}$ , где $pG$ — подгруппа $G$ , образованная $p$ -ми степенями её элементов.

Г

Генератор группы: 1. Элемент порождающего множества группы.; 2. Для групп Ли, элемент базиса её алгебры Ли (см. генераторы группы). Также используется термин инфинитезимальный оператор.
Генетический код группы: То же, что задание группы.
Главный ряд подгрупп: Ряд подгрупп, в котором $G_{i}$ — максимальная нормальная в $G$ подгруппа из $G_{i+1}$ для всех членов ряда.
Голоморф: Для заданной группы $(G,*)$ — группа над парами $\{(g,\varphi )\mid g\in G,\varphi \in \operatorname {Aut} G\}$ ( $\operatorname {Aut} G$ — группа автоморфизмов группы $G$ ) с групповой операцией композиции $\odot$ , определённой как $(g_{1},\varphi _{1})\odot (g_{2},\varphi _{2})=(g_{1}*\varphi _{1}^{-1}(g_{2}),\varphi _{1}\circ \varphi _{2})$ .
Гомоморфизм групп: Отображение групп $f\colon \ (G,*)\to (H,\times )$ такое, что $f(a*b)=f(a)\times f(b)$ для произвольных a и b в G.
Группа: Непустое множество $G$ с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией $*\colon \ G\times G\to G$ , при которой в $G$ имеется нейтральный элемент $e$ , то есть для всех $a\in G$ выполнено $e*a=a*e=a$ , и для каждого элемента $a\in G$ есть обратный элемент $a^{-1}$ , такой, что $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$ .
Группа Шмидта: Ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.
Группа Миллера — Морено: Неабелева группа, все собственные подгруппы которой абелевы.
Групповая алгебра: Для группы $G$ над полем $K$ — это векторное пространство над $K$ , образующими которого являются элементы $G$ , а умножение образующих соответствует умножению элементов $G$ .

Д

Действие группы: Группа $G$ действует слева на множестве $M$ , если задан гомоморфизм $\Phi \colon G\to S(M)$ , где $S(M)$ — симметрическая группа. Группа $G$ действует справа на множестве $M$ , если задан гомоморфизм $\rho :G^{op}\to S(M)$ , где $G^{op}$ — инверсная группа группы $G$ .
Длина ряда подгрупп: Число $n$ в определении ряда подгрупп.

Е

Естественный гомоморфизм: Гомоморфизм группы $G$ на факторгруппу $G/H$ по нормальной подгруппе $H$ , ставящий в соответствие каждому элементу $a$ группы смежный класс $aH$ . Ядром этого гомоморфизма является подгруппа $H$ .

З

Задание группы: Определение группы указанием порождающего множества $S$ и множества соотношений между порождающими $R$ , обозначается $\langle S\mid R\rangle$ . Также называется генетический код группы, представление группы (создавая неоднозначность с линейным представлением группы), копредставление группы.

И

Изоморфизм групп: Биективный гомоморфизм.
Изоморфные группы: Группы, между которыми существует хотя бы один изоморфизм.
Инвариантная подгруппа: То же, что и нормальная подгруппа.
Инверсная группа: Группа, получаемая сменой местами аргументов бинарной операции, то есть для $G$ с операцией $\times$ — группа $G^{op}$ с операцией $*$ такой, что $a*b=b\times a$ для всех элементов $G$ .
Индекс подгруппы: Число смежных классов в каждом (правом или левом) из разложений группы по данной подгруппе.
Индексы ряда подгрупп: Индексы $|G_{i+1}:G_{i}|$ в определении субнормального ряда подгрупп.

К

Класс нильпотентности: Для нильпотентной группы — минимальная из длин центрального ряда подгрупп.
Класс смежности: Для элемента $g\in G$ , левый смежный класс (или класс смежности) по подгруппе $H$ — множество $gH=\{gh\mid h\in H\}$ , правый смежный класс по подгруппе $H$ — множество $Hg=\{hg\mid h\in H\}$ , двойной смежный класс по подгруппам $H,K$ — множество $HgK=\{hgk\mid h\in H,k\in K\}$ (множество двойных смежных классов обозначается $H\backslash G/K$ ).
Класс сопряжённости: Для элемента $g\in G$ — множество всех его сопряжённых элементов: $\{hgh^{-1}\mid h\in G\}$ .
Комитант: Для группы $G$ , действующей на множествах $X$ и $Y$ — отображение $\varphi _{G}\colon X\to Y$ такое, что для любых $g\in G$ и $x\in X$ выполнено $g(\varphi (x))=\varphi (g(x))$ .
Коммутант: Подгруппа, порождённая всеми коммутаторами группы, обычно обозначается $[G,G]$ или $G'$ .
Коммутативная группа: Группа с коммутативной бинарной операцией ( $\forall g,h\in G(g*h=h*g)$ ); также называется абелевой группой.
Коммутирующие элементы: Элементы, для которых коммутатор равен единичному элементу группы, или, что эквивалентно, такие элементы $g,h\in G$ , для которых $g*h=h*g$ .
Коммутатор: Для элементов $g,h\in G$ — элемент $[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$ .
Коммутатор подгрупп: Множество всевозможных произведений $\{[g,h]\mid g\in G,h\in H\}$ .
Композиционный ряд: Для группы $G$ — ряд подгрупп, в котором все факторгруппы $G_{i+1}/G_{i}$ — простые группы.
Конечная группа: Группа с конечным числом элементов.
Конечная $p$ -группа: Группа, являющаяся одновременно конечной и $p$ -группой. Также используется термин примарная.
Конечно заданная группа: Группа, обладающая конечным числом образующих и задаваемая в этих образующих конечным числом соотношений. Также используется термин конечно определённая.
Конечнопорождённая абелева группа: Группа, являющаяся одновременно абелевой и конечнопорождённой.
Конечнопорождённая группа: Группа, обладающая конечной системой образующих.
Копредставление группы: То же, что задание группы.
Кручение: Подгруппа всех элементов конечного порядка, применяется для коммутативных и нильпотентных групп, обозначается $\operatorname {Tor} G$ .

Л

Локальное свойство: Говорят, что группа $G$ обладает некоторым локальным свойством $P$ , если любая конечнопорождённая подгруппа из $G$ обладает этим свойством. Примерами могут служить локальная конечность, локальная нильпотентность.
Локальная теорема: Говорят, что для некоторого свойства $P$ групп справедлива некоторая локальная теорема, если всякая группа, локально обладающая этим свойством, сама обладает им. Например: локально абелева группа является абелевой, но локально конечная группа может быть бесконечной.

М

Максимальная подгруппа: Такая подгруппа, что не существует других подгрупп её содержащих (не совпадающих с самой группой).
Метабелева группа: Группа, коммутант которой абелев, ступень разрешимости такой группы равна 2.
Метанильпотентная группа: Полинильпотентная группа со ступенью разрешимости равной 2.
Метациклическая группа: Группа, обладающая циклической нормальной подгруппой, факторгруппа по которой также циклическая. Всякая конечная группа, порядок которой свободен от квадратов (то есть не делится на квадрат какого-либо числа), является метациклической.
Минимальная нормальная подгруппа: Наименьшая (по включению) неединичная (то есть, состоящая не только из единичного элемента) нормальная подгруппа.

Н

Нейтральный элемент: Элемент, задаваемый в определении группы, любое применение которого при бинарной операции оставляет другой аргумент неизменным.
Нильпотентная группа: Группа, обладающая центральным рядом подгрупп. Минимальная из длин таких рядов называется её классом нильпотентности.
Норма группы: Совокупность элементов группы, перестановочных со всеми подгруппами, то есть пересечение нормализаторов всех её подгрупп.
Нормализатор: Для подгруппы $H$ в $G$ — это максимальная подгруппа $G$ , в которой $H$ нормальна. Иначе говоря, нормализатор есть стабилизатор $H$ при действии $G$ на множестве своих подгрупп сопряжениями, то есть $N(H)=\{g\in G\mid gHg^{-1}=H\}$ .
Нормальная подгруппа: $H$ есть нормальная подгруппа $G$ , если для любого элемента $g\in G$ выполнено $gH=Hg$ , то есть правые и левые классы смежности $H$ в $G$ совпадают. Иначе говоря, если $\forall g\in G\quad \forall h\in H\quad ghg^{-1}\in H$ . Также называется инвариантная подгруппа, нормальный делитель.
Нормальный делитель: То же, что и нормальная подгруппа.
Нормальный ряд подгрупп: Ряд подгрупп, в котором $G_{i}$ нормальна в $G$ , для всех членов ряда.

О

Орбита: Для элемента $m$ множества $M$ , на который группа $G$ действует слева — множество всех действий над элементом: $Gm=\{gm\mid g\in G\}$ .

П

Перестановочные элементы: Пара элементов $a,b\in G$ такие что $ab=ba$ .
Период группы: Наименьшее общее кратное порядков элементов данной группы. То же, что и экспонента, показатель группы.
Периодическая группа: Группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок.
Подгруппа: Подмножество $H$ группы $G$ , которое является группой относительно операции, определённой в $G$ .
Подгруппа кручения: То же, что и кручение.
Подгруппа, порождённая множеством: Наименьшая подгруппа, содержащая данное подмножество группы.
Подгруппа Томпсона^[англ.]: Подгруппа, порождённая всеми абелевыми подгруппами; обозначается $J(G)$ .
Подгруппа Фиттинга^[англ.]: Подгруппа, порождённая всеми нильпотентными нормальными подгруппами; обозначается $F(G)$ .
Подгруппа Фраттини^[англ.]: Пересечение всех максимальных подгрупп, если таковые существуют, либо сама группа $G$ в противном случае; обозначается $\Phi (G)$ .
Показатель группы: То же, что и экспонента, период группы.
Полинильпотентная группа: Группа обладающая конечным нормальным рядом, факторы которого нильпотентны.
Полупрямое произведение: Для групп $G$ и $H$ над гомоморфизмом $\phi :G\rightarrow {\mbox{Aut}}(H)$ (обозначается по-разному, в том числе $G\rtimes _{\phi }H$ ) — множество $G\times H$ , наделённое операцией $*$ , для которой $(g_{1},h_{1})*(g_{2},h_{2})=(g_{1}\phi (h_{1})(g_{2}),h_{1}h_{2})$ для любых $g_{1},g_{2}\in G$ , $h_{1},h_{2}\in H$ .
Порождающее множество группы: Такое подмножество группы, что каждый элемент группы может быть записан как произведение конечного числа элементов множества и их обратных.
Порядок группы: То же, что и мощность множества группы (для конечных групп — количество элементов группы).
Порядок элемента: Для элемента $g\in G$ — минимальное натуральное число $m$ такое, что $g^{m}=e$ . В случае, если такого $m$ не существует, считается, что $g$ имеет бесконечный порядок.
Почти- ${\mathcal {E}}$ -группа: Для теоретико-группового свойства ${\mathcal {E}}$ — группа, обладающая подгруппой конечного индекса, обладающей свойством ${\mathcal {E}}$ ; так говорят о почти нильпотентных, почти разрешимых, почти полициклических группах.
Представление группы: 1. Линейное представление группы, гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.; 2. То же, что и задание группы.
Простая группа: Группа, в которой нет нормальных подгрупп, кроме тривиальной (состоящей только из единичного элемента) и всей группы.
Примарная группа: Конечная группа, являющаяся $p$ -группой для некоторого простого числа $p$ .
Примарная абелева группа: Группа, являющаяся одновременно абелевой и примарной.
Прямое произведение: Для групп $(G,\cdot )$ и $(H,*)$ — множество пар $G\times H$ , наделённое операцией покомпонентного умножения: $(g_{1},h_{1})\times (g_{2},h_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},h_{1}*h_{2})$ .

Р

Ранг абелевой группы^[англ.]^*: Мощность максимального линейно-независимого подмножества абелевой группы, рассматриваемой как модуль над кольцом целых чисел. Не следует путать с понятием ранга группы.
Ранг группы^[англ.]^*: Мощность наименьшего порождающего множества группы. Не следует путать с понятием ранга абелевой группы.
Расширение группы: Группа, содержащая данную группу в качестве нормальной подгруппы.
Разрешимая группа: Группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с абелевыми факторами. Наименьшая из длин таких рядов называется её ступенью разрешимости.
Разрешимый радикал: Подгруппа, порождённая всеми разрешимыми нормальными подгруппами, обозначается $S(G)$ .
Ряд подгрупп: Конечная последовательность подгрупп $G_{0},G_{1},...,G_{n}$ такая, что $G_{i}\leq G_{i+1}$ , для всех $i\in \left\{0,...,n-1\right\},~G_{0}=1,~G_{n}=G$ . Такой ряд записывают в виде $1=G_{0}\leq G_{1}\leq \dots \leq G_{n}=G$ или в виде $G=G_{n}\geq G_{n-1}\geq \dots \geq G_{0}=1$ .
Регулярная $p$ -группа: Конечная $p$ -группа, для любой пары элементов $a$ и $b$ которой найдётся элемент $u$ коммутанта подгруппы, порожденной этими элементами, такой, что $(ab)^{p}=a^{p}b^{p}u^{p}$ .

С

Сверхразрешимая группа: Группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с циклическими факторами.
Свободная группа: Группа, заданная некоторым множеством и при этом не имеющая никаких соотношений, кроме соотношений, определяющих группу. Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны.
Свободное произведение: Группа, заданная элементами данных групп без дополнительных соотношений между элементами, кроме соотношений, определяющих каждую из данных групп.
Силовская подгруппа: $p$ -подгруппа в $G$ , имеющая порядок $p^{n}$ , где $|G|=p^{n}s$ и наибольший общий делитель чисел $p$ и $s$ равен 1.
Симметрическая группа: Группа всех биекций заданного конечного множества (то есть, всех перестановок) относительно операции композиции.
Соотношение: Тождество, которому удовлетворяют образующие группы (при задании группы образующими и соотношениями).
Сопряжённый элемент: Для элемента $g\in G$ — элемент вида $h{\cdot }g{\cdot }h^{-1}$ для некоторого $h\in G$ . Часто используют короткое обозначение $g^{h}=h{\cdot }g{\cdot }h^{-1}$ .
Сплетение групп: Сплетение групп^[англ.]^* $A$ и $H$ (обозначается $A\wr H$ ), где группа $H$ действует на некотором множестве $\Omega$ , — это полупрямое произведение $K\rtimes H$ , где группа $K$ — прямое произведение или прямая сумма набора копий группы $A$ , индексируемого элементами множества $\Omega$ ; в первом случае сплетение называется декартовым (или полным) сплетением и обозначается также $A\,\mathrm {Wr} \,H$ , во втором — прямым сплетением $A\,\mathrm {wr} \,H$ .
Стабилизатор: Для элемента $p$ множества $M$ , на котором действует группа $G$ — подгруппа $\mathrm {St} _{G}(p)\subset G$ , все элементы которой оставляют $p$ на месте: $g\cdot p=p$ .
Ступень разрешимости: Наименьшая из длин нормальных рядов подгрупп с абелевыми факторами для данной группы.
Субнормальный ряд подгрупп: Ряд подгрупп, в котором подгруппа $G_{i}$ нормальна в подгруппе $G_{i+1}$ , для всех членов ряда.

Ф

Факторгруппа: Для группы $G$ и её нормальной подгруппы $H$ — множество классов смежности подгруппы $H$ с умножением, определяемым следующим образом: $(aH)*(bH)=(ab)H$ .
Факторы субнормального ряда: Факторгруппы $G_{i+1}/G_{i}$ в определении субнормального ряда подгрупп.

Х

Характеристическая подгруппа: Подгруппа, инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.
Холлова подгруппа: Подгруппа, порядок которой взаимно прост с её индексом во всей группе.

Ц

Центр группы: Максимальная группа элементов, коммутирующих с каждым элементом группы: $\mathrm {Z} _{G}(G)=\{g\in G\mid \forall {h\in G}\,(gh=hg)\}$ . Своеобразная «мера абелевости»: группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.
Централизатор: Максимальная подгруппа, каждый элемент которой коммутирует с заданным элементом: $\mathrm {Z} _{G}(h)=\{g\in G\mid gh=hg\}$ .
Центральный ряд подгрупп: Нормальный ряд подгрупп, в котором $G_{i+1}/G_{i}\subseteq Z(G/G_{i})$ , для всех членов ряда.
Центральный элемент группы: Элемент, входящий в центр группы.
Циклическая группа: Группа, состоящая из порождающего элемента и всех его целых степеней. Конечна в случае, если порядок порождающего элемента конечен.

Э

Экспонента: Числовая характеристика конечной группы, равная наименьшему общему кратному порядков всех элементов группы, обозначается $\exp(G)$ . То же, что и период группы, показатель группы.
Элементарная группа: Группа, являющаяся конечной или абелевой, либо получаемая из конечных и абелевых групп последовательностью операций взятия подгрупп, эпиморфных образов, прямых пределов и расширений.
Эпиморфизм групп: Эпиморфизмом называется гомоморфизм $f:G\to H$ , если отображение f сюръективно.

Я

Ядро гомоморфизма: Прообраз нейтрального элемента при гомоморфизме. Ядро всегда есть нормальная подгруппа, а любая нормальная подгруппа есть ядро некоторого гомоморфизма.

Таблица обозначений

В данном разделе приводятся некоторые обозначения, используемые в публикациях по теории групп. Для некоторых обозначений указываются также соответствующие понятия в некоторых других разделах общей алгебры (теории колец, полей). Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, $H\triangleleft G$ обозначает то же, что и $G\triangleright H$ .

Символ (ΤΕΧ)	Символ (Unicode)	Название	Значение
Символ (ΤΕΧ)	Символ (Unicode)	Произношение	Значение
Символы теории групп
$\triangleleft$	⊲	Нормальная подгруппа, идеал кольца	$H\triangleleft G$ означает « $H$ является нормальной подгруппой группы $G$ », если $G$ — группа, и « $H$ является (двусторонним) идеалом кольца $G$ », если $G$ — кольцо.
$\triangleleft$	⊲	«нормальна в», «… является идеалом …»
$[\ :\ ]$	[ : ]	Индекс подгруппы, размерность поля	$[G:H]$ означает «индекс подгруппы $H$ в группе $G$ », если $G$ — группа, и «размерность поля $H$ над полем $G$ », если $G$ и $H$ — поля.
$[\ :\ ]$	[ : ]	«индекс … в …», «размерность … над …»
$\times$	×	Прямое произведение групп	$G\times H$ означает «прямое произведение групп $G$ и $H$ ».
$\times$	×	«прямое произведение … и …»
$\oplus$	⊕	Прямая сумма подпространств	$V=V_{1}\oplus V_{2}$ означает «пространство $V$ разлагается в прямую сумму подпространств $V_{1}$ и $V_{2}$ ».
$\oplus$	⊕	«прямая сумма … и …»
$\otimes$	⊗	Тензорное произведение	$T_{1}\otimes T_{2}$ означает «тензорное произведение тензоров $T_{1}$ и $T_{2}$ ».
$\otimes$	⊗	«тензорное произведение … и …»
$[\,,\,]$	[ , ]	Коммутатор элементов группы	$[g,\,h]$ означает «коммутатор элементов $g$ и $h$ группы $G$ », то есть элемент $ghg^{-1}h^{-1}$ .
$[\,,\,]$	[ , ]	«коммутатор … и …»
$G^{\prime }$	G'	Коммутант	$G^{\prime }$ означает «коммутант группы $G$ ».
$G^{\prime }$	G'	«коммутант …»	$G^{\prime }$ означает «коммутант группы $G$ ».
$\langle \ \rangle _{n}$	⟨ ⟩_n	Циклическая группа	$\langle a\rangle _{n}$ означает «циклическая группа порядка $n$ , порождённая элементом $a$ ».
$\langle \ \rangle _{n}$	⟨ ⟩_n	«Циклическая группа порядка $n$ , порождённая $a$ »
$A^{T}$	A^T	Транспонированная матрица	$A^{T}$ означает «транспонированная матрица $A$ ».
$A^{T}$	A^T	«транспонированная матрица …»	$A^{T}$ означает «транспонированная матрица $A$ ».
$E_{i,\,j}$	E_{i, j}	Матричная единица	$E_{i,\,j}$ означает «матричная $i,\;j$ -единица», то есть матрица, у которой на месте $(i,\;j)$ стоит единица, а на остальных местах — нули.
$E_{i,\,j}$	E_{i, j}	«матричная единица …»
$*$	*	Сопряжённый оператор Сопряжённое пространство Мультипликативная группа поля	${\mathcal {A}}^{}$ означает «линейный оператор, сопряжённый к ${\mathcal {A}}$ », если ${\mathcal {A}}$ — линейный оператор. $V^{}$ означает «линейное пространство, сопряжённое к $V$ (дуальное к $V$ )», если $V$ — линейное пространство. $F^{*}$ означает «мультипликативная группа поля $F$ », если $F$ — поле.
$*$	*	«оператор, сопряжённый к …»; «пространство, сопряжённое к …»; «мультипликативная группа …»
Стандартные обозначения некоторых групп
$S_{n}$	S_n	Симметрическая группа $n$ -ой степени	$S_{n}$ означает «симметрическая группа (или группа перестановок) степени $n$ ».
$S_{n}$	S_n	«эс …»
$A_{n}$	A_n	Знакопеременная группа $n$ -ой степени	$A_{n}$ означает «знакопеременная группа (то есть группа чётных подстановок) степени $n$ ».
$A_{n}$	A_n	«а …»
$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$	ℤ/nℤ	Циклическая группа порядка $n$	$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ означает «циклическая группа порядка $n$ (эквивалентно: группа остатков по сложению по модулю $n$ )».
$GL_{n}(F)$	GL_n(F)	Полная линейная группа — группа невырожденных линейных операторов	$GL_{n}(F)$ означает «группа невырожденных линейных операторов размерности $n$ над полем $F$ » (от general linear).
$GL_{n}(F)$	GL_n(F)	«же эль … над …»
$SL_{n}(F)$	SL_n(F)	Специальная линейная группа — группа линейных операторов c определителем 1	$SL_{n}(F)$ означает «группа линейных операторов размерности $n$ над полем $F$ с определителем 1» (от special linear).
$SL_{n}(F)$	SL_n(F)	«эс эль … над …»
$UT_{n}(F)$	UT_n(F)	Группа верхних треугольных матриц	$UT_{n}(F)$ означает «группа верхних треугольных матриц порядка $n$ над полем $F$ » (от upper triangular).
$UT_{n}(F)$	UT_n(F)	«группа верхних треугольных матриц порядка … над …»
$SUT_{n}(F)$	SUT_n(F)	Группа верхних унитреугольных матриц	$SUT_{n}(F)$ означает «группа верхних унитреугольных матриц порядка $n$ над полем $F$ » (от special upper triangular), то есть верхних треугольных матриц с единицами на главной диагонали.
$SUT_{n}(F)$	SUT_n(F)	«группа верхних унитреугольных матриц порядка … над …»
$PGL_{n}(K)$	PGL_n(K)	Проективная группа	$PGL_{n}(K)$ означает "группа преобразований $(n-1)$ -мерного проективного пространства $P_{n-1}(K)$ , индуцированных невырожденными линейными преобразованиями пространства $K^{n}$ .
$PGL_{n}(K)$	PGL_n(K)	«проективная группа порядка … над …»
$D_{n}$	D_n	Группа диэдра $n$ -ой степени	$D_{n}$ означает «группа диэдра $n$ -ой степени» (то есть группа симметрий правильного $n$ -угольника).
$D_{n}$	D_n	«дэ …»
$V_{4}$	V₄	Четверная группа Клейна	$V_{4}$ означает «четверная группа Клейна».
$V_{4}$	V₄	«вэ четыре»	$V_{4}$ означает «четверная группа Клейна».

Литература

Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.