Характеристическая подгруппа

Характеристическая подгруппа — подгруппа, инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.

Связанные определения

править
  • Если образ подгруппы при действии любого эндоморфизма лежит внутри подгруппы, то подгруппа называется вполне характеристической. Ясно, что любая вполне характеристическая группа является характеристической.
  • Любая группа имеет 2 характеристических подгруппы, называемых тривиальными: саму группу и единичную подгруппу. Группа, не имеющая нетривиальных характеристических подгрупп, называется элементарной.

Примеры

править

Свойства

править
  • Всякая характеристическая подгруппа является нормальной (так как сопряжение является автоморфизмом), обратное, вообще говоря, неверно. Если группа автоморфизмов группы   совпадает с группой внутренних автоморфизмов   то любая нормальная подгруппа группы является характеристической.
  • Свойство «быть характеристической подгруппой» транзитивно, то есть если A характеристична (вполне характеристична) в B, а B характеристична (вполне характеристична) в C, то A характеристична (вполне характеристична) в C.
  • Пересечение характеристичных (вполне характеристичных) подгрупп является характеристичной (вполне характеристичной) подгруппой.
  • Подгруппа, порожденная множеством характеристичных (вполне характеристичных) подгрупп является характеристичной (вполне характеристичной) подгруппой.

Литература

править