Нормальная подгруппа

Норма́льная подгру́ппа (также инвариа́нтная подгру́ппа или нормальный делитель) — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Такие группы важны, поскольку позволяют строить факторгруппу.

Определения

Подгруппа $N$ группы $G$ называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента $n$ из $N$ и любого $g$ из $G$ элемент $gng^{-1}$ лежит в $N$:

$N\triangleleft G\,\iff \,\forall \,n\in N,\forall \ g\in G$ $gng^{-1}\in {N}.$

Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:

1. Для любого $g$ из $G$ $gNg^{-1}\subseteq N$.
2. Для любого $g$ из $G$ $gNg^{-1}=N$.
3. Множества левых и правых смежных классов $N$ в $G$ совпадают.
4. Для любого $g$ из $G$ $gN=Ng$.
5. $N$ изоморфна объединению классов сопряжённых элементов.

Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.

Примеры

• $\{e\}$ и $G$ — всегда нормальные подгруппы $G$. Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа $G$ называется простой.

• Центр группы — нормальная подгруппа.

• Коммутант группы — нормальная подгруппа.

• Любая характеристическая подгруппа нормальна, так как сопряжение — это всегда автоморфизм.

• Все подгруппы $N$ абелевой группы $G$ нормальны, так как $gN=Ng$. Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой.

• Группа параллельных переносов в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа евклидовой группы; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.

• В группе кубика Рубика подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.

Свойства

• Нормальность сохраняется при сюръективных гомоморфизмах и взятии обратных образов.
• Ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа.
• Нормальность сохраняется при построении прямого произведения.
• Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не транзитивна. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.
• Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Если $p$ — наименьший простой делитель порядка $G$, то любая подгруппа индекса $p$ нормальна.
• Если $N$ — нормальная подгруппа в $G$, то на множестве левых (правых) смежных классов $G/N$ можно ввести групповую структуру по правилу

$(g_{1}N)(g_{2}N)=(g_{1}g_{2})N$

Полученное множество называется факторгруппой $G$ по $N$.

• $N$ нормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на левых смежных классах $G/N$.
• Каждая нормальная подгруппа является квазинормальной.

Исторические факты

Эварист Галуа первым понял важность нормальных подгрупп.

Ссылки

• Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.:Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
• Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6.