Абелева группа

Запрос «Неабелева группа» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

А́белева (или коммутати́вная) гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа $(G,\;*)$ абелева, если $a*b=b*a$ для любых двух элементов $a,\;b\in G$.

Обычно для обозначения групповой операции в абелевой группе используется аддитивная запись, то есть групповая операция обозначается знаком $+$ и называется сложением

Название дано в честь норвежского математика Нильса Абеля.

Примеры

• Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
• Любая циклическая группа $G=\langle a\rangle$ абелева. Действительно, для любых $x=a^{n}$ и $y=a^{m}$ верно, что

  $xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$.

  • В частности, множество $\mathbb {Z}$ целых чисел есть коммутативная группа по сложению; это же верно и для классов вычетов $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \,.$
• Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению; примером может служить поле $\mathbb {R}$ вещественных чисел с операцией сложения чисел.
• Обратимые элементы коммутативного кольца (в частности, ненулевые элементы любого поля) образуют абелеву группу по умножению. Например, абелевой группой является множество ненулевых вещественных чисел с операцией умножения.

Связанные определения

• По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность векторного пространства над полем $\mathbb {Q}$ рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

Свойства

• Конечно порождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
  • Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
• Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть $n$ — натуральное число, а $x$ — элемент коммутативной группы $G$ с операцией, обозначаемой +, тогда $nx$ можно определить как $x+x+\ldots +x$ ($n$ раз) и $(-n)x=-(nx)$.
  • Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (то есть модулей над областью главных идеалов $\mathbb {Z}$), зачастую могут быть обобщены на модули над произвольной областью главных идеалов. Типичным примером является классификация конечнопорождённых абелевых групп, которую можно обобщить до классификации произвольных конечнопорождённых модулей над областью главных идеалов.
• Множество гомоморфизмов $\operatorname {Hom} (G,\;H)$ всех групповых гомоморфизмов из $G$ в $H$ само является абелевой группой. Действительно, пусть $f,\;g:G\to H$ — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма $f+g$, заданная как $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, тоже является гомоморфизмом (это неверно, если $H$ не является коммутативной группой).
• Понятие абелевости тесно связано с понятием центра $Z(G)$ группы $G$ — множества, состоящего из тех её элементов, которые коммутируют с каждым элементом группы $G$, и играющего роль своеобразной «меры абелевости». Группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.

Конечные абелевы группы

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. $\mathbb {Z} _{mn}$ изоморфно прямой сумме $\mathbb {Z} _{m}$ и $\mathbb {Z} _{n}$ тогда и только тогда, когда $m$ и $n$ взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу $G$ в форме прямой суммы

$\mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}$

двумя различными способами:

• Где числа $k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}$ степени простых
• Где $k_{1}$ делит $k_{2}$, которое делит $k_{3}$, и так далее до $k_{u}$.

Например, $\mathbb {Z} /15\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{15}$ может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: $\mathbb {Z} /15\mathbb {Z} =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}$. То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать; в результате приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

Вариации и обобщения

• Дифференциальной группой называется абелева группа $C$, в которой задан эндоморфизм $d\colon C\to C$ такой, что $d^{2}=0$. Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра $\ker \,d$ — циклами, элементы образа $\mathrm {Im} \,d$ — границами.
• Кольцо — абелева группа, на которой задана дополнительная бинарная операция «умножения», удовлетворяющая аксиомам дистрибутивности.
• Метабелева группа — группа, коммутант которой абелев.
• Нильпотентная группа — группа, центральный ряд которой конечен.
• Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой стабилизируется на тривиальной группе.
• Дедекиндова группа — группа, всякая подгруппа которой нормальна.

См. также

• Алгебраическая система

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7..
• Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил.
• Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. — Мир, 1974.