Конечнопорождённая абелева группа

Конечнопорождённая абелева группа — абелева группа, заданная конечной системой образующих, то есть такая коммутативная группа $(G,+)$, для которой существует конечный набор $x_{1},\dots ,x_{s}\in G$, такой что $\forall x\in G$ существует представление:

$x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\dots +n_{s}x_{s}$,

где $n_{1},\dots ,n_{s}$ — целые числа.

Конечнопорождённые абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы, возможность свести к ним рассмотрение тех или иных объектов считается ценной. Примеры — целые числа $(\mathbb {Z} ,+)$ и числа по модулю $(\mathbb {Z} _{n},+)$, любая прямая сумма конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой. Согласно теореме о классификации, других (с точностью до изоморфизма) конечнопорождённых абелевых групп нет. Например, группа $(\mathbb {Q} ,+)$ рациональных чисел не является конечнопорожденной: если бы существовала порождающая система $x_{1},\dots ,x_{s}\in \mathbb {Q}$, то достаточно было бы взять натуральное число $w$, взаимно простое со всеми знаменателями чисел из системы, чтобы получить $1/w$, не порождаемое системой $\{x_{1},\dots ,x_{s}\}$.

Классификация

Теорема о классификации конечнопорожденных абелевых групп (являющаяся частным случаем классификации конечнопорожденных модулей над областью главных идеалов) утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа $G$ изоморфна прямой сумме простых циклических групп и бесконечных циклических групп, где простая циклическая группа — это такая циклическая группа, чей порядок является степенью простого числа. Что значит, что каждая такая группа изоморфна группе вида:

$\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{m_{1}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z} _{m_{t}}$,

где $n\geqslant 0$, и числа $m_{1},\dots ,m_{t}$ являются (не обязательно различными) степенями простых чисел. Значения $n,m_{1},\dots ,m_{t}$ однозначно определены (с точностью до порядка) группой $G$, в частности, $G$ конечна тогда и только тогда, когда $n=0$.

На основании того факта что $G_{m}$ будет изоморфно произведению $G_{j}$ и $G_{k}$ тогда и только тогда, когда $j$ и $k$ взаимно просты и $m=jk$, мы также можем представить любую конечнопорождённую группу $G$ в форме прямой суммы

$\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}$,

где $k_{1}$ делит $k_{2}$, который делит $k_{3}$ и так далее до $k_{u}$. И снова, числа $n$ и $k_{1},\dots ,k_{u}$ однозначно заданы группой $G$.

Литература

• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.