Гомоморфизм групп

В математике, если заданы две группы (G, ∗) и (H, •), гомоморфизм групп из (G, ∗) в (H, •) — это функция h : G → H, такая, что для всех u и v из G выполняется

h(u*v)=h(u)\cdot h(v),

где групповая операция слева от знака «=» относится к группе G, а операция справа относится к группе H.

Отсюда можно вывести, что h отображает нейтральный элемент e_G группы G в нейтральный элемент e_H группы H, а также отображает обратные элементы в обратные в том смысле, что

h(u^{-1})=h(u)^{-1}.

Таким образом, можно сказать, что h «сохраняет групповую структуру».

В более ранних работах h(x) могло обозначаться как x_h, хотя это может привести к путанице с индексами. В последнее время наметилась тенденция опускать скобки при записи гомоморфизма, так что h(x) превращается просто в x h. Эта тенденция особенно заметна в областях теории групп, где применяется автоматизация, поскольку это лучше согласуется с принятым в автоматах чтении слов слева направо.

В областях математики, где группы снабжаются дополнительными структурами, гомоморфизм иногда понимается как отображение, сохраняющее не только структуру группы (как выше), но и дополнительную структуру. Например, гомоморфизм топологических групп часто предполагается непрерывным.

Понятие

Цель определения гомоморфизма группы — создать функции, сохраняющие алгебраическую структуру. Эквивалентное определение гомоморфизма группы: Функция h : G → H является гомоморфизмом группы, если из a ∗ b = c следует h(a) ⋅ h(b) = h(c). Другими словами, группа H в некотором смысле подобна алгебраической структуре G и гомоморфизм h сохраняет её.

Образ и ядро

Определим ядро h как множество элементов из G, которые отображаются в нейтральный элемент в H

\ker(h):=\{u\in G:h(u)=e_{H}\}{\mbox{.}}

и образ h как

\mathop {\mathrm {Im} } (h):=h(G):=\left\{h(u)\colon u\in G\right\}{\mbox{.}}

Ядро h является нормальной подгруппой G, а образ h является подгруппой H:

h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)=h(g)^{-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H}.

Гомоморфизм h является инъективным (и называется мономорфизмом группы) в том и только в том случае, когда ker(h) = {e_G}.

Ядро и образ гомоморфизма можно понимать как измерение, насколько гомоморфизм близок к изоморфизму. Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ гомоморфизма группы h(G) изоморфен факторгруппе G/ker h.

Примеры

Возьмём циклическую группу $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ={0,1,2}$ и группу целых чисел $\mathbb {Z}$ по сложению. Отображение $h:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ с $h(u)=u{\bmod {3}}$ является гомоморфизмом. Оно сюръективно, и его ядро состоит из целых чисел, делящихся на 3.

Возьмём группу

G:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}{\bigg |}\exists a>0,b\in \mathbb {R} \right\}

Для любого комплексного числа

u

функция

f^{u}:G\to \mathbb {C}

, определённая как:

{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\mapsto a^{u}

является гомоморфизмом.

Возьмём группу положительных вещественных чисел с операцией умножения $(\mathbb {R} ^{+},\cdot )$ . Для любого комплексного числа $u$ функция $f^{u}:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {C}$ , определённая как

f_{u}(a)=a^{u}

является гомоморфизмом.

Экспоненциальное отображение является гомоморфизмом из группы вещественных чисел $\mathbb {R}$ по сложению в группу ненулевых вещественных чисел $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ по умножению. Ядром является множество $\{0\}$ , а образ состоит из вещественных положительных чисел.

Экспоненциальное отображение также образует гомоморфизм из группы комплексных чисел $\mathbb {C}$ по сложению в группу ненулевых комплексных чисел $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ по умножению. Это отображение сюръективно, его ядром является множество $\{2\pi ki\in \mathbb {C} \mid \exists k\in \mathbb {Z} \}$ , как можно видеть из формулы Эйлера. Поля, подобные $\mathbb {R}$ и $\mathbb {C}$ , имеющие гомоморфизм из группы по сложению в группу по умножению, называют экспоненциальными полями^[англ.].

Категории групп

Если h : G → H и k : H → K являются гомоморфизмами групп, то и k o h : G → K тоже гомоморфизм. Это показывает, что класс всех групп, вместе с гомоморфизмами групп в качестве морфизмов, образуют категорию.

Виды гомоморфных отображений

Если гомоморфизм h является биекцией, то можно показать, что обратное отображение тоже является гомоморфизмом групп, и тогда h называется изоморфизмом. В этом случае группы G и H называются изоморфными — они различаются только обозначением элементов и операции и идентичны для практического применения.

Если h: G → G является гомоморфизмом групп, мы называем его эндоморфизмом G. Если же оно и биективно, а следовательно, является изоморфизмом, оно называется автоморфизмом. Множество всех автоморфизмов группы G с композицией функций в качестве операции само образует группу, группу автоморфизмов G. Эта группа обозначается как Aut(G). Как пример, автоморфизм группы (Z, +) содержит только два элемента (тождественное преобразование и умножение на −1), и он изоморфен Z/2Z.

Эпиморфизм — это сюръективный гомоморфизм, то есть гомоморфизм на. Мономорфизм — это инъективный гомоморфизм, то есть гомоморфизм один-к-одному.

Гомоморфизмы абелевых групп

Групповая структура

Если группа $(H,\cdot )$ — абелева, то множество $\mathrm {Hom} (G,H)$ всех гомоморфизмов из группы $G$ в группу $H$ само является абелевой группой относительно следующей бинарной операции поэлементного сложения, обозначаемой символом $+$ : для двух гомоморфизмов $f$ и $g$ гомоморфизм $f+g$ определяется формулой

(f+g)(x):=f(x)\cdot g(x),

где $x\in G$ .

Структура кольца

Относительно указанной выше операции операция композиции является дистрибутивной. А именно, для любых гомоморфизмов $f\in \mathrm {Hom} (K,G)$ , $h,k\in \mathrm {Hom} (G,H)$ и $g\in \mathrm {Hom} (H,L)$ выполняются следующие равенства:

{\begin{aligned}(h+k)\circ f&=(h\circ f)+(k\circ f)\\g\circ (h+k)&=(g\circ h)+(g\circ k).\end{aligned}}

В частности, множество $\mathrm {End} (H):=\mathrm {Hom} (H,H)$ всех эндоморфизмов абелевой группы $H$ образует кольцо, в котором аналогом сложения является вышеописанная операция, а умножения — композиция. Оно называется кольцом эндоморфизмов группы $H$ .

Например, $\mathrm {End} (\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ и $\mathrm {End} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ . Кроме того, для любой абелевой группы $A$ кольцо эндоморфизмов прямого произведения $A^{m}$ изоморфно кольцу матриц $m\times m$ с элементами из группы $\mathrm {End} (A)$ :

\mathrm {End} (A^{m})=M_{m}(\mathrm {End} (A)).

Упомянутая выше дистрибутивность также показывает, что категория всех абелевых групп и их гомоморфизмов образует предаддитивную категорию. Существование прямых сумм и ядер с хорошо обусловленным поведением делает эту категорию примером абелевой категории.

См. также

Ссылки

D. S. Dummit, R. Foote. Abstract Algebra. — 3. — Wiley, 2004. — С. 71-72. — ISBN 9780471433347.
Ленг С. Алгебра. — Москва: Мир, 1968.