Расширение группы

Расширение группы — группа, содержащая заданную группу в качестве нормальной подгруппы. В задаче расширения как правило заданы нормальная подгруппа $N$ и факторгруппа $Q$ , и ищется расширение $G\supset N$ такое, что $G/N\cong Q$ , или, что эквивалентно, такая $G$ , что существует короткая точная последовательность:

1\to N\to G\to Q\to 1

.

В этом случае говорят, что $G$ является расширением $Q$ при помощи $N$ ^[1] (иногда используется другая формулировка: группа $G$ является расширением $N$ с помощью $Q$ ^[2]^[3]).

Расширение называется центральным расширением, если подгруппа $N$ лежит в центре группы $G$ .

Примеры

Группы $\mathbb {Z} _{4}$ также как $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ являются расширениями $\mathbb {Z} _{2}$ при помощи $\mathbb {Z} _{2}$ .

Очевидное расширение — прямое произведение: если $G=K\times H$ , то $G$ является как расширением $H$ , так и $K$ . Если $G$ является полупрямым произведением групп $K$ и $H$ ( $G=K\rtimes H$ ), то $G$ является расширением $H$ с помощью $K$ .

Сплетения групп^[англ.]^* дают дальнейшие примеры расширений.

Свойства

Если потребовать, что $G$ и $Q$ были абелевыми группами, то множество классов изоморфизмов расширения группы $Q$ с помощью заданной (абелевой) группы $N$ , фактически, является группой, которая изоморфна:

\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)

(функтор Ext). Некоторые другие общие классы расширений известны, но нет теории, которая рассматривает все возможные расширения одновременно, в этом смысле задача расширения группы обычно считается трудной.

Поскольку любая конечная группа $G$ обладает максимальной нормальной подгруппой $N$ с простой факторгруппой $G/N$ , все конечные группы могут быть построены как композиционные ряды^[англ.] $\{A_{i}\}$ , где каждая группа $A_{i+1}$ является расширением $A_{i}$ при помощи некоторой простой группы. Этот факт стал одним из важных стимулов для решения задачи классификации простых конечных групп.

Классификация расширений

Решение задачи расширения означает классификацию всех расширений группы $H$ при помощи $K$ , или, более конкретно, выражение всех таких расширений в терминах математических объектов, которые в каком-либо их смысле проще (легко вычислить или хорошо изучены). В общем случае эта задача очень трудна, и все наиболее полезные результаты классифицируют расширения, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

Для задачи классификации важным понятием является эквивалентности расширений; говорят, что расширения:

1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1

и

1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1

эквивалентны (или конгруэнтны), если существует изоморфизм группы $T:G\to G'$ , делающий коммутативной диаграмму:

Фактически, достаточно иметь группу гомоморфизмов. Вследствие предполагаемой коммутативности диаграммы отображение вынужденно будет изоморфизмом по короткой лемме о пяти гомоморфизмах^[англ.].

Может случиться, что расширения $1\to K\to G\to H\to 1$ и $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ не эквивалентны, но $G$ и $G'$ изоморфны как группы. Например, имеется $8$ неэквивалентных расширений четверной группы Клейна с помощью $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ^[4], но существуют, с точностью до изоморфизма, только четыре группы порядка 8, содержащие нормальную подгруппу порядка $2$ с факторгруппой, изоморфной четверной группе Клейна.

Тривиальные расширения

Тривиальное расширение — это расширение:

1\to K\to G\to H\to 1

,

которое эквивалентно расширению:

1\to K\to K\times H\to H\to 1

,

где левая и правая стрелки являются соответственно включением и проекцией каждого множителя $K\times H$ .

Классификации расщепляемых расширений

Расщепляемое расширение — это расширение:

1\to K\to G\to H\to 1

с гомоморфизмом $s\colon H\to G$ , таким что переход от $H$ к $G$ с помощью $s$ , а затем обратно к $H$ по факторотображению короткой точной последовательности порождает тождественное отображение на $H$ , то есть $\pi \circ s=\mathrm {id} _{H}$ . В этой ситуации обычно говорят, что $s$ расщепляет вышеупомянутую точную последовательность.

Расщепляемые расширения очень легко классифицировать, поскольку расширение расщепляемо тогда и только тогда, когда группа $G$ является полупрямым произведением $K$ и $H$ . Полупрямые произведения сами по себе легко классифицировать, поскольку они взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам $H\to \operatorname {Aut} (K)$ , где $\operatorname {Aut} (K)$ является группой автоморфизмов $K$ .

Центральное расширение

Центральное расширение группы $G$ является короткой точной последовательностью групп

1\to A\to E\to G\to 1

такой что $A$ лежит в $Z(E)$ (центре группы $E$ ). Множество классов изоморфизмов центральных расширений группы $G$ с помощью $A$ (где $G$ действует тривиально на $A$ ) является взаимно-однозначным соответствием с группой когомологий^[англ.] $H^{2}(G,A)$ .

Примеры центральных расширений могут быть построены путём взятия любой группы $G$ и любой абелевой группы $A$ , полагая $E$ равным $A\times G$ . Этот вид расщепляемого примера (расщепляемое расширение в смысле задачи расширения, поскольку $G$ является подгруппой $E$ ) не представляет особого интереса, поскольку он соответствует элементу $0$ в $H^{2}(G,A)$ согласно вышеупомянутому соответствию. Более серьёзные примеры найдены в теории проективных представлений в случаях, когда проективные представления не могут быть подняты до обычных линейных представлений.

В случае конечных совершенных групп имеется универсальное совершенное центральное расширение^[англ.].

Аналогично, центральное расширение алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ является точной последовательностью

0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0,

такой что ${\mathfrak {a}}$ находится в центре ${\mathfrak {e}}$ .

Существует общая теория центральных расширений в многообразиях Мальцева^[5].

Группы Ли

В теории групп Ли центральные расширения возникают в связи с алгебраической топологией. Грубо говоря, центральные расширения групп Ли с помощью дискретных групп это то же самое, что накрывающие группы^[англ.]. Более точно, связное накрывающее пространство $G^{\ast }$ связной группы Ли $G$ является естественным центральным расширением группы $G$ , при этом проекция

\pi \colon G^{*}\to G

является группой гомоморфизмов и сюръективна. (Структура группы на $G^{\star }$ зависит от выбора отображения тождественного элемента в тождественный элемент $G$ .) Например, когда $G^{\star }$ является универсальным накрытием группы $G$ , ядро $\pi$ является фундаментальной группой группы $G$ , которое, как известно, абелево (H-пространство). Обратно, если дана группа Ли $G$ и дискретная центральная подгруппа $Z$ , факторгруппа $G/Z$ является группой Ли, а $G$ является её накрывающим пространством.

Более общо, если группы $A$ , $E$ и $G$ в центральном расширении являются группами Ли и отображения между ними являются гомоморфизмами группы Ли, то если алгеброй Ли группы $G$ является ${\mathfrak {g}}$ , алгеброй $A$ является ${\mathfrak {a}}$ , а алгеброй $E$ является ${\mathfrak {e}}$ , то ${\mathfrak {e}}$ является центральным расширением алгебры Ли^[англ.] ${\mathfrak {g}}$ с помощью $\mathbf {a}$ . В терминологии теоретической физики генераторы алгебры ${\mathfrak {a}}$ называются центральными зарядами^[англ.]. Эти генераторы лежат в центре алгебры ${\mathfrak {e}}$ . По теореме Нётер генераторы групп симметрии соответствуют сохраняющимся величинам и называются зарядами.

Основные примеры центральных расширений как накрывающих групп:

спинорные группы, которые дважды накрывают специальные ортогональные группы, которые (в чётной размерности) дважды накрывают проективную ортогональную группу^[англ.];
метаплектические группы^[англ.], которые дважды накрывают симплектические группы.

Случай $SL_{2}(\mathbf {R} )$ вовлекает фундаментальную группу, которая является бесконечной циклической группой; здесь центральное расширение хорошо известно из теории модулярных форм для случая форм с весом ${\tfrac {1}{2}}$ . Соответствующее проективное представление является представлением Вейля^[англ.], построенным из преобразования Фурье, в этом случае, на вещественной оси. Метаплектические группы появляются также в квантовой механике.

См. также

Примечания

↑ В общей алгебре чаще всего под расширением структуры $K$ обычно предполагается структура $L\supset K$ , в которой $K$ является подструктурой, таким образом, в частности, определяется расширение поля; но в теории групп (возможно, ввиду обозначения $\operatorname {Ext} (Q,N)$ ) устоялась другая терминология, и фокус сосредоточен не на $N\subset G$ , а на факторгруппе $Q$ , поэтому считается, что расширяется именно $Q$ при помощи $N$ .
↑ Remark 2.2. (неопр.) Дата обращения: 15 марта 2019. Архивировано 26 мая 2019 года.
↑ Brown, Porter, 1996, с. 213–227.
↑ Dummit, Foote, 2004, с. 830.
↑ Janelidze, Kelly, 2000.

Литература

David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract algebra. — third edition. — Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2004. — ISBN 0-471-43334-9.
Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966.
Taylor R.L. Covering groups of non connected topological groups // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1954. — Т. 5. — С. 753–768.
Brown R., Mucuk O. Covering groups of non-connected topological groups revisited // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1994. — Т. 115. — С. 97–110.
Brown R., Porter T. On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations // Proceedings of the Royal Irish Academy. — 1996. — Т. 96A. — С. 213–227.
Janelidze G., Kelly G. M. Central extensions in Malt'sev varieties // Theory and Applications of Categories. — 2000. — Т. 7. — С. 219–226.
Morandi P. J. Group Extensions and $H^{3}$ .
Group extensions (неопр.). GroupNames. Дата обращения: 14 июня 2019.

[1] В общей алгебре чаще всего под расширением структуры $K$ обычно предполагается структура $L\supset K$ , в которой $K$ является подструктурой, таким образом, в частности, определяется расширение поля; но в теории групп (возможно, ввиду обозначения $\operatorname {Ext} (Q,N)$ ) устоялась другая терминология, и фокус сосредоточен не на $N\subset G$ , а на факторгруппе $Q$ , поэтому считается, что расширяется именно $Q$ при помощи $N$ .

[2] Remark 2.2. (неопр.) Дата обращения: 15 марта 2019. Архивировано 26 мая 2019 года.

[_3866555e940295ee-3] Brown, Porter, 1996, с. 213–227.

[_1fa526ceef755493-4] Dummit, Foote, 2004, с. 830.

[_18d608c221f74a58-5] Janelidze, Kelly, 2000.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]