Ортогональная группа

Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований $n$ -мерного векторного пространства $V$ над полем $k$ , сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму $Q$ на $V$ (то есть таких линейных преобразований $\varphi$ , что $Q(\varphi (v))=Q(v)$ для любого $v\in V$ )^[1].

Обозначения и связанные определения

Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно $Q$ ) преобразованиями $V$ , а также автоморфизмами формы $Q$ (точнее, автоморфизмами пространства $V$ относительно формы $Q$ )^[1].
Обозначается $O_{n}$ , $O_{n}(k)$ , $O_{n}(Q)$ и т. п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей.
Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой ( $l$ плюсов, $m$ минусов) где $n=l+m$ , обозначается $O(l,m)$ , см. напр. O(1,3).

В случае, если характеристика основного поля не равна двум, то с $Q$ связана невырожденная симметрическая билинейная форма $F$ на $V$ , определенная формулой
$F(u,\;v)={\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{2}}.$

Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства

V

, которые сохраняют

F

, и обозначается через

O_{n}(k,\;F)

или (когда ясно о каком поле

k

и форме

F

идёт речь) просто через

O_{n}

^[1].

Если $B$ — матрица формы $F$ в неком базисе пространства $V$ , то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц $A$ с коэффициентами в $k$ , что $A^{T}BA=B$ ^[1].

В частности, если базис таков, что

Q

является суммой квадратов координат (то есть, матрица

B

единична), то такие матрицы

A

Над полем вещественных чисел, группа $O_{n}({\mathbb {R} },\;V)$ компактна тогда и только тогда, когда форма $Q$ знакоопределена.
- В этом случае любой элемент из $O_{n}({\mathbb {R} })$ , для подходящего базиса представляется как блочно-диагональная матрица
  ${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}}$

где R₁, ..., R_k — 2х2 матрицы поворотов; теорема вращения Эйлера является частным случем этого утверждения.

Ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы GL( $n$ ). Элементы ортогональной группы, определитель которых равен 1 (это свойство не зависит от базиса), образуют подгруппу — специальную ортогональную группу $SO(n,Q)$ , обозначаемую так же, как и ортогональная группа, но с добавлением буквы «S». $SO(n,Q)$ , по построению, является также подгруппой специальной линейной группы $SL(n)$ .

Попов В. Л. Ортогональная группа // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 81—84.