Универсальное накрытие

Универсальное накрытие — в некотором смысле самое большое накрытие пространства. В непатологических случаях, универсальное накрытие есть накрытие односвязным пространством.

Определение

Накрытие $p\colon {\tilde {Y}}\to Y$ называется универсальным если для любого другого накрытия $q\colon X\to Y$ существует накрытие $s\colon {\tilde {Y}}\to X$ такое, что $p=q\circ s$.

Примеры

Гавайская серьга

Пространство неодносвязного универсального накрытия

• Примером пространства, не допускающего универсальное накрытие, является так называемая гавайская серьга: объединение последовательности окружностей, попарно касающихся в одной точке, радиусы которых стремятся к нулю.

• Две копии конуса над гавайской серьгой, склеенные по одной точке, в которой окружности гавайской серьги имеют общую точку, дают пример неодносвязного пространства с тривиальным (и значит неодносвязным) универсальным накрытием. Замкнутый путь, обегающий уменьшающиеся окружности и бегающий из конуса в конус, негомотопен нулю.

• Вещественная прямая $\mathbb {R}$ является универсальным накрытием окружности $S^{1}$.

• $n$-мерная сфера $S^{n}$ является универсальным накрытием вещественного проективного пространства $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ при $n>1$.

Свойства

• Универсальное накрытие регулярно.

• Все локально линейно связные и полулокально односвязные связные пространства допускают универсальное накрытие. Более того, пространство накрытия является односвязным.
  • В частности, у любого локально односвязного связного пространства существует универсальное накрытие.

Литература

• Аллен Хатчер. Алгебраическая топология / Пер. В. В. Прасолова. — М.: МЦНМО, 2011. — 688 с. — ISBN 978-5-94057-748-5.