Обратный элемент

Обра́тный элеме́нт — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения).

Определения

Пусть $(M,\cdot )$ — множество $M,$ на котором определена бинарная операция, обозначаемая точкой ($\cdot$), с нейтральным элементом $e$. Пусть $x,y$ — пара произвольных элементов множества $M$. Если справедливо равенство $x\cdot y=e,$ то $y$ называется правым обратным (или обра́тным спра́ва) к $x$.

Аналогичным образом, если выполнено равенство $y\cdot x=e,$ то $y$ называется левым обратным (обра́тным сле́ва) к $x.$

Элемент $y\in M$, являющийся обратным к $x$ и справа, и слева, то есть такой, что
    $x\cdot y=y\cdot x=e,$
называется просто обратным к $x$ и обозначается $x^{-1}$. Элемент, для которого существует обратный элемент, называется обратимым.

Замечания

• Приведённое выше определение дано в мультипликативной нотации. Если используется аддитивная нотация $(M,+)$, то обратный элемент называется противополо́жным и обозначается $-x$.
• Вообще говоря, один и тот же элемент $x\in M$ может иметь несколько обратных слева элементов и несколько обратных справа элементов, и левые не обязаны совпадать с правыми.

Свойства

Пусть операция $\cdot$ ассоциативна. Тогда если для элемента $x\in M$ определены обратный слева и обратный справа элементы, то они равны и единственны.

Следствие: в моноиде у каждого элемента имеется не более одного обратного. Все обратимые элементы моноида образуют группу; эта группа не пуста, так как содержит по крайней мере нейтральный элемент.

Примеры

Множество	Бинарная операция	Обратный элемент
Вещественные числа	$+$ (сложение)	$-x$ (противоположное число)
Вещественные числа, не равные нулю	$\cdot$ (умножение)	$1/x$ (обратное число)
Функции вида $f:M\to M$	$\circ$ (композиция функций)	$f^{-1}$ (обратная функция)

См. также

• Группа