Симметрическая группа

Симметрическая группа — группа всех перестановок заданного множества $X$ (то есть биекций $X\to X$) относительно операции композиции.

Граф Кэли симметрической группы S₄

Таблица Кэли симметрической группы S₃
(таблица умножения матриц перестановок)

Имеются следующие позиции шести матриц:
Таблица несимметрична относительно главной диагонали, то есть группа не абелева.

Симметрическая группа множества $X$ обычно обозначается $S(X)$. Если $X=\{1,2,...,n\}$, то $S(X)$ также обозначается через $S_{n}$. Поскольку для равномощных множеств ($|X|=|Y|$) изоморфны и их группы перестановок ($S(X)\cong S(Y)$), то для конечной группы порядка $n$ группу её перестановок отождествляют с $S_{n}$.

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка $\mathrm {id} (x)=x$.

Группы перестановок

Хотя обычно группой перестановок (или подстановок) называют саму симметрическую группу, иногда, особенно в англоязычной литературе, группами перестановок множества $X$ называют подгруппы симметрической группы $S(X)$. Степенью группы в таком случае называется мощность $X$.

Каждая конечная группа $G$ изоморфна некоторой подгруппе группы $S(G)$ (теорема Кэли).

Свойства

Число элементов симметрической группы для конечного множества равно числу перестановок элементов, то есть факториалу мощности: $|S_{n}|=n!$. При $n\geqslant 3$ симметрическая группа $S_{n}$ некоммутативна.

Симметрическая группа $S_{n}$ допускает следующее задание:

$\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ |i-j|>1\rangle$.

Можно считать, что $\sigma _{i}$ переставляет $i$ и $i+1$. Максимальный порядок элементов группы $S_{n}$ — функция Ландау.

Группы $S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$ разрешимы, при $n\geqslant 5$ симметрическая группа $S_{n}$ является неразрешимой.

Симметрическая группа является совершенной (то есть отображение сопряжения является изоморфизмом) тогда и только тогда, когда её порядок отличен от 2 и 6 (теорема Гёльдера). В случае $n=6$ группа $S_{6}$ имеет ещё один внешний автоморфизм. В силу этого и предыдущего свойства при $n\geqslant 3,n\neq 6$ все автоморфизмы $S_{n}$ являются внутренними, то есть каждый автоморфизм $\alpha (x)$ имеет вид $g^{-1}xg$ для некоторого $g\in S_{n}$.

Число классов сопряжённых элементов симметрической группы $S_{n}$ равно числу разбиений числа $n$. Множество транспозиций $(12),(23),...,(n-1\ n)$ является порождающим множеством $S_{n}$. С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками $(12),(12...n)$, так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.

Центр симметрической группы тривиален при $n\geqslant 3$. Коммутантом $S_{n}$ является знакопеременная группа $A_{n}$; причём при $n\neq 4$ $A_{n}$ — единственная нетривиальная нормальная подгруппа $S_{n}$, а $S_{4}$ имеет ещё одну нормальную подгруппу — четверную группу Клейна.

Представления

Любая подгруппа $G$ группы перестановок $S_{n}$ представима группой матриц из $SL(n,\mathbb {Z} )$, при этом каждой перестановке $\pi :i\to \pi (i)$ соответствует перестановочная матрица (матрица, у которой все элементы в ячейках $(i,\pi (i))$ равны 1, а прочие элементы равны нулю); например, перестановка $(231)$ представляется следующей матрицей $3\times 3$:

${\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}$

Подгруппа такой группы, составленная из матриц с определителем, равным 1, изоморфна знакопеременной группе $A_{n}$.

Существуют и другие представления симметрических групп, например, группа симметрии (состоящая из вращений и отражений) додекаэдра изоморфна $S_{5}$, а группа вращений куба изоморфна $S_{4}$.

См. также

• Группа кос

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал-Пресс, 2001.
• Каргаполов М. И, Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М.: Наука, Физматлит, 1982.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — М. издательство=Физматлит, 2004.
• Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, Физматлит, 1967.
• Постников М. М. Теория Галуа. — М.: Физматлит, 1963.