Группа кос — группа, образованная для заданного всеми косами из нитей относительно операции произведения кос. Является центральным объектом изучения теории кос и обозначается символом .

Произведение кос

Группа кос наделяется рядом математических структур, происходящих из алгебры, комбинаторики, геометрии и топологии, и допускает множество различных интерпретаций.

Группа впервые явно описана Эмилем Артином в 1925 году (см. Теория кос § История).

Определение

править

Группа кос имеет несколько различных воплощений, которые приводят к изоморфным группам. Ниже представлены основные такие воплощения, рассматриваемые в литературе.

Геометрические косы

править

Классический подход к определению группы кос основан на конструкции умножения кос. Так, произведением двух кос   и   из одинакового числа нитей называется коса  , полученная путём соединения правых концов нитей первой косы с левыми концами нитей второй косы[1].

Такое умножение задаёт на множестве   всех кос из   нитей ассоциативную бинарную операцию. Тривиальная коса из   нитей, то есть такая, у которой все нити являются прямыми, является нейтральным элементом относительно умножения кос. Далее, все элементы из   обратимы относительно данной операции, а именно, обратным элементом к данному является обратная коса, которая получается из исходной косы отражением относительно плоскости, перпендикулярной её нитям[2]. Таким образом, вместе с операцией умножения множество   является группой, которая называется группой кос из   нитей[3][4].

Данный подход к определению группы кос восходит к теории узлов.

 
Образующие Артина, обратные к ним и коса, заданная некоторым артиновским словом

Задание образующими и соотношениями

править

Согласно теореме Артина, группа кос порождается образующими Артина и допускает в этих образующих следующее конечное задание:

  для   для  .

Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое восходит к комбинаторной теории групп.

Траектории движения точек на плоскости

править

Группа кос может быть задана своим классифицирующим пространством[англ.], а именно, она изоморфна фундаментальной группе конфигурационного пространства   неупорядоченных наборов   различных точек евклидовой плоскости[5][6]:

 .

Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое восходит к теории гомотопий.

Автоморфизмы свободной группы

править

Группа кос изоморфна группе сплетающих автоморфизмов свободной группы[7].

Автогомеоморфизмы проколотого диска

править

Группа кос изоморфна группе классов отображений замкнутого диска с   проколами[8]:

 .

Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое восходит к двумерной топологии.

Свойства

править

Согласно теореме Артина, группы кос из малого числа нитей допускают следующие элементарные описания. Группа кос из одной нити тривиальна:

 .

Группа кос из двух нитей является бесконечной циклической:

 .

Группа кос из трёх нитей изоморфна группе трилистника:

 .

При   ранг группы кос   равен двум. Так, она не является циклической (и даже не является абелевой[9]), но может быть порождена двумя элементами   и  [10].

Абелианизация и коммутант

править

При   абелианизация группы кос   изоморфна бесконечной циклической группе[10]:

 .

Гомоморфизм абелианизации   сопоставляет косе   её экспоненциальную сумму  .

Таким образом, коммутант группы кос состоит из тех кос, у которых экспоненциальная сумма равна нулю:

 .

Например, группа   является свободной ранга два с базисом   и  [11].

 
Полный оборот лежит в центре группы кос

Центр группы кос является циклическим. А именно, при   он порождается полным оборотом[12]:

 .

Кроме того,

 .

Данное свойство позволяет установить, что при   группы   и   не изоморфны[13].

Автоморфизмы

править

Задача описания автоморфизмов группы кос была поставлена Эмилем Артином в 1947 году[14] и решена в 1981 году в работе Джоан Дайер и Эдны Гроссман[15].

При   группа внешних автоморфизмов[англ.]   группы кос   является циклической и порождена классом автоморфизма-отражения  , действующего на образующих Артина формулой

 .

Данный автоморфизм имеет порядок два, и имеется изоморфизм

 .

Точная последовательность

 

расщепляется, и группа автоморфизмов группы кос раскладывается в полупрямое произведение:

 .

Группа внутренних автоморфизмов   группы кос, будучи изоморфной её факторгруппе по центру, также изоморфна группе классов отображений сферы с   проколами:

 .

Например, группа внутренних автоморфизмов группы кос из трёх нитей изоморфна модулярной группе:

 .

Подводя итог, группа автоморфизмов группы кос изоморфна расширенной группе классов отображений сферы с   проколами:

 .

Кручение

править

При   группа кос не имеет кручения. Иными словами, любая коса, кроме тривиальной, имеет бесконечный порядок.

Одна из причин отсутствия кручения — наличие линейных порядков на группах кос[16]. Например, порядка Деорнуа.

Другая причина состоит в том, что фундаментальная группа любого асферического конечномерного CW-комплекса не имеет кручения, а конфигурационное пространство   является асферическим[17] многообразием.

Остаточная конечность и хопфовость

править

При   группа кос   является остаточно конечной[18]. В частности, она хопфова.

Извлечение корней

править
 
Извлечение корней из кос однозначно с точностью до сопряженности

Для данных косы   и целого числа   задача определения того, существует ли коса   со свойством  , алгоритмически разрешима. Но такая коса   не обязательно единственна. Например, для любого   в группе кос   фундаментальная коса   допускает следующие представления:

 .

При   косы   и   различны, поскольку, например, различны их перестановки.

В сборнике открытых проблем комбинаторной теории групп[19] Геннадий Семёнович Маканин сформулировал гипотезу о том, что любые два решения предыдущего уравнения сопряжены в группе кос. Вскоре, с помощью классификации Нильсена-Тёрстона[англ.], она была доказана[20]. Таким образом, извлечение корней из кос является однозначным с точностью до сопряженности.

Псевдохарактеры

править

При   пространство псевдохарактеров группы кос   бесконечномерно[21]. Примечательный псевдохарактер на группе кос задаёт закрученность косы.

Линейность

править

При всех   группа кос   является линейной, то есть допускает точное представление в полную линейную группу над некоторым полем. Например, представление Лоуренс – Краммера – Бигелоу[англ.] является точным[22][23]. Представление Бурау, напротив, имеет нетривиальное ядро при всех  , но является точным при  , а вопрос о его точности при   остаётся открытым.

Подгруппы

править
 
Образующие Маркова группы крашеных кос

Группа крашеных кос

править

Множество всех крашеных кос из   нитей образует нормальную подгруппу группы кос  , которая обозначается символом  .

Для каждого   группа   является конечнопорождённой, а именно, она порождается   косами

 

называющимися образующими Маркова, где   и   таковы, что  

Факторгруппы

править

Симметрическая группа

править

Сопоставление   косе её перестановки задаёт групповой эпиморфизм

 

из группы кос в симметрическую группу. Он переводит образующие Артина   в элементарные транспозиции  .

С помощью данного эпиморфизма косы из   нитей можно рассматривать как физический аналог перестановок множества  . Утверждение о том, что каждая коса представляется в виде произведения образующих Артина и их обратных, обобщает тот факт, что каждую перестановку можно представить в виде композиции транспозиций  . Принципиальное отличие состоит в том, что  , в то время как  . Таким образом, грубо говоря, при описании косы в терминах элементарных транспозиций   необходимо задать не только индексы  , но то, как именно на этом участке нити под номерами   и   меняются местами — проходит первая или под второй. Игнорирование этой информации и приводит к понятию перестановки, соответствующей косе.

Ядром эпиморфизма   является группа крашеных кос  . Согласно теореме о гомоморфизме,

 .

В частности, группа крашеных кос является нормальной подгруппой группы   индекса  .

Усечённая группа кос

править

Для   группа  , заданная стандартными образующими и соотношениями группы кос  , а также дополнительной серией соотношений вида

  для  

называется усечённой группой кос[24].

Например, при   данное описание является стандартным заданием симметрической группы:

 .

Две косы из   нитей имеют совпадающие образы относительно канонической проекции

 

в том и только том случае, если одну косу можно получить из другой конечной последовательностью  -преобразований (см. Коса (математика) § Локальные преобразования кос).

Как показал Гарольд Коксетер, при   группа   конечна тогда и только тогда, когда[25]

 ,

причем в этих случаях порядок группы   равен, соответственно,         и  

Группа гомотопических кос

править

Для   группа  , заданная стандартными образующими и соотношениями группы кос  , а также дополнительной бесконечной серией соотношений вида

  для   и элемента   подгруппы группы крашеных кос, порождённой элементами  

где символ   обозначает коммутатор элементов   и  , а символ   обозначает образующую Маркова группы крашеных кос, называется группой гомотопических кос[26].

Две косы из   нитей имеют совпадающие образы относительно канонической проекции

 

в том и только том случае, если они гомотопны.

См. также

править

Примечания

править

Литература

править
  • Сосинский, А. Б. Узлы и косы. — М.: МЦНМО, 2001. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6.
  • Мантуров, В. О. Экскурс в теорию кос // Математическое просвещение. — М.: МЦНМО, 2010. — Т. 3, вып. 14. — С. 107–142. — ISBN 978-5-94057-597-9.
  • Сосинский, А. Б. Узлы. Хронология одной математической теории. — М.: МЦНМО, 2005. — 112 с. — ISBN 5-94057-220-0.
  • Кассель, К, Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М.: МЦНМО, 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6.
  • Прасолов, В. В, Сосинский, А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — 352 с. — ISBN 5-900916-10-3.
  • Мантуров, В. О. Теория узлов. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3.
  • Murasugi, K, Kurpita, B. I. A Study of Braids. — Springer, 1999. — 277 с. — (Mathematics and Its Applications). — ISBN 978-0-7923-5767-4. — doi:10.1007/978-94-015-9319-9.

Ссылки

править