Группа кос
Группа кос — группа, образованная для заданного всеми косами из нитей относительно операции произведения кос. Является центральным объектом изучения теории кос и обозначается символом .
Группа кос наделяется рядом математических структур, происходящих из алгебры, комбинаторики, геометрии и топологии, и допускает множество различных интерпретаций.
Группа впервые явно описана Эмилем Артином в 1925 году (см. Теория кос § История).
Определение
правитьГруппа кос имеет несколько различных воплощений, которые приводят к изоморфным группам. Ниже представлены основные такие воплощения, рассматриваемые в литературе.
Геометрические косы
правитьКлассический подход к определению группы кос основан на конструкции умножения кос. Так, произведением двух кос и из одинакового числа нитей называется коса , полученная путём соединения правых концов нитей первой косы с левыми концами нитей второй косы[1].
Такое умножение задаёт на множестве всех кос из нитей ассоциативную бинарную операцию. Тривиальная коса из нитей, то есть такая, у которой все нити являются прямыми, является нейтральным элементом относительно умножения кос. Далее, все элементы из обратимы относительно данной операции, а именно, обратным элементом к данному является обратная коса, которая получается из исходной косы отражением относительно плоскости, перпендикулярной её нитям[2]. Таким образом, вместе с операцией умножения множество является группой, которая называется группой кос из нитей[3][4].
Данный подход к определению группы кос восходит к теории узлов.
Задание образующими и соотношениями
правитьСогласно теореме Артина, группа кос порождается образующими Артина и допускает в этих образующих следующее конечное задание:
- для для .
Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое восходит к комбинаторной теории групп.
Траектории движения точек на плоскости
правитьГруппа кос может быть задана своим классифицирующим пространством[англ.], а именно, она изоморфна фундаментальной группе конфигурационного пространства неупорядоченных наборов различных точек евклидовой плоскости[5][6]:
- .
Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое восходит к теории гомотопий.
Автоморфизмы свободной группы
правитьГруппа кос изоморфна группе сплетающих автоморфизмов свободной группы[7].
Автогомеоморфизмы проколотого диска
правитьГруппа кос изоморфна группе классов отображений замкнутого диска с проколами[8]:
- .
Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое восходит к двумерной топологии.
Свойства
правитьСогласно теореме Артина, группы кос из малого числа нитей допускают следующие элементарные описания. Группа кос из одной нити тривиальна:
- .
Группа кос из двух нитей является бесконечной циклической:
- .
Группа кос из трёх нитей изоморфна группе трилистника:
- .
При ранг группы кос равен двум. Так, она не является циклической (и даже не является абелевой[9]), но может быть порождена двумя элементами и [10].
Абелианизация и коммутант
правитьПри абелианизация группы кос изоморфна бесконечной циклической группе[10]:
- .
Гомоморфизм абелианизации сопоставляет косе её экспоненциальную сумму .
Таким образом, коммутант группы кос состоит из тех кос, у которых экспоненциальная сумма равна нулю:
- .
Например, группа является свободной ранга два с базисом и [11].
Центр
правитьЦентр группы кос является циклическим. А именно, при он порождается полным оборотом[12]:
- .
Кроме того,
- .
Данное свойство позволяет установить, что при группы и не изоморфны[13].
Автоморфизмы
правитьЗадача описания автоморфизмов группы кос была поставлена Эмилем Артином в 1947 году[14] и решена в 1981 году в работе Джоан Дайер и Эдны Гроссман[15].
При группа внешних автоморфизмов[англ.] группы кос является циклической и порождена классом автоморфизма-отражения , действующего на образующих Артина формулой
- .
Данный автоморфизм имеет порядок два, и имеется изоморфизм
- .
расщепляется, и группа автоморфизмов группы кос раскладывается в полупрямое произведение:
- .
Группа внутренних автоморфизмов группы кос, будучи изоморфной её факторгруппе по центру, также изоморфна группе классов отображений сферы с проколами:
- .
Например, группа внутренних автоморфизмов группы кос из трёх нитей изоморфна модулярной группе:
- .
Подводя итог, группа автоморфизмов группы кос изоморфна расширенной группе классов отображений сферы с проколами:
- .
Кручение
правитьПри группа кос не имеет кручения. Иными словами, любая коса, кроме тривиальной, имеет бесконечный порядок.
Одна из причин отсутствия кручения — наличие линейных порядков на группах кос[16]. Например, порядка Деорнуа.
Другая причина состоит в том, что фундаментальная группа любого асферического конечномерного CW-комплекса не имеет кручения, а конфигурационное пространство является асферическим[17] многообразием.
Остаточная конечность и хопфовость
правитьПри группа кос является остаточно конечной[18]. В частности, она хопфова.
Извлечение корней
правитьДля данных косы и целого числа задача определения того, существует ли коса со свойством , алгоритмически разрешима. Но такая коса не обязательно единственна. Например, для любого в группе кос фундаментальная коса допускает следующие представления:
- .
При косы и различны, поскольку, например, различны их перестановки.
В сборнике открытых проблем комбинаторной теории групп[19] Геннадий Семёнович Маканин сформулировал гипотезу о том, что любые два решения предыдущего уравнения сопряжены в группе кос. Вскоре, с помощью классификации Нильсена-Тёрстона[англ.], она была доказана[20]. Таким образом, извлечение корней из кос является однозначным с точностью до сопряженности.
Псевдохарактеры
правитьПри пространство псевдохарактеров группы кос бесконечномерно[21]. Примечательный псевдохарактер на группе кос задаёт закрученность косы.
Линейность
правитьПри всех группа кос является линейной, то есть допускает точное представление в полную линейную группу над некоторым полем. Например, представление Лоуренс – Краммера – Бигелоу[англ.] является точным[22][23]. Представление Бурау, напротив, имеет нетривиальное ядро при всех , но является точным при , а вопрос о его точности при остаётся открытым.
Подгруппы
правитьГруппа крашеных кос
правитьМножество всех крашеных кос из нитей образует нормальную подгруппу группы кос , которая обозначается символом .
Для каждого группа является конечнопорождённой, а именно, она порождается косами
называющимися образующими Маркова, где и таковы, что
Факторгруппы
правитьСимметрическая группа
правитьСопоставление косе её перестановки задаёт групповой эпиморфизм
из группы кос в симметрическую группу. Он переводит образующие Артина в элементарные транспозиции .
С помощью данного эпиморфизма косы из нитей можно рассматривать как физический аналог перестановок множества . Утверждение о том, что каждая коса представляется в виде произведения образующих Артина и их обратных, обобщает тот факт, что каждую перестановку можно представить в виде композиции транспозиций . Принципиальное отличие состоит в том, что , в то время как . Таким образом, грубо говоря, при описании косы в терминах элементарных транспозиций необходимо задать не только индексы , но то, как именно на этом участке нити под номерами и меняются местами — проходит первая или под второй. Игнорирование этой информации и приводит к понятию перестановки, соответствующей косе.
Ядром эпиморфизма является группа крашеных кос . Согласно теореме о гомоморфизме,
- .
В частности, группа крашеных кос является нормальной подгруппой группы индекса .
Усечённая группа кос
правитьДля группа , заданная стандартными образующими и соотношениями группы кос , а также дополнительной серией соотношений вида
- для
называется усечённой группой кос[24].
Например, при данное описание является стандартным заданием симметрической группы:
- .
Две косы из нитей имеют совпадающие образы относительно канонической проекции
в том и только том случае, если одну косу можно получить из другой конечной последовательностью -преобразований (см. Коса (математика) § Локальные преобразования кос).
Как показал Гарольд Коксетер, при группа конечна тогда и только тогда, когда[25]
- ,
причем в этих случаях порядок группы равен, соответственно, и
Группа гомотопических кос
правитьДля группа , заданная стандартными образующими и соотношениями группы кос , а также дополнительной бесконечной серией соотношений вида
- для и элемента подгруппы группы крашеных кос, порождённой элементами
где символ обозначает коммутатор элементов и , а символ обозначает образующую Маркова группы крашеных кос, называется группой гомотопических кос[26].
Две косы из нитей имеют совпадающие образы относительно канонической проекции
в том и только том случае, если они гомотопны.
См. также
правитьПримечания
править- ↑ Прасолов и Сосинский, 1997, p. 72.
- ↑ Сосинский, 2001, p. 10.
- ↑ Прасолов и Сосинский, 1997, p. 73.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, с. 18.
- ↑ Прасолов и Сосинский, 1997, p. 77.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, с. 49.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, с. 48.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, с. 57.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, с. 13.
- ↑ 1 2 Кассель и Тураев, 2014, с. 15.
- ↑ Murasugi и Kurpita, 1999, p. 30.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, с. 38.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, с. 40.
- ↑ Artin, 1947, p. 102.
- ↑ Dyer и Grossman, 1981.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, глава 7.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, с. 44.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, p. 37.
- ↑ Baumslag et al., 2002, Problem B11.
- ↑ Gonzalez-Meneses, 2003.
- ↑ Малютин, 2009, p. 114.
- ↑ Мантуров, 2010, p. 125.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, p. 159.
- ↑ Murasugi и Kurpita, 1999, p. 79.
- ↑ Murasugi и Kurpita, 1999, p. 81.
- ↑ Murasugi и Kurpita, 1999, p. 110.
Литература
править- Сосинский, А. Б. Узлы и косы . — М.: МЦНМО, 2001. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6.
- Мантуров, В. О. Экскурс в теорию кос // Математическое просвещение. — М.: МЦНМО, 2010. — Т. 3, вып. 14. — С. 107–142. — ISBN 978-5-94057-597-9.
- Сосинский, А. Б. Узлы. Хронология одной математической теории . — М.: МЦНМО, 2005. — 112 с. — ISBN 5-94057-220-0.
- Кассель, К, Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М.: МЦНМО, 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6.
- Прасолов, В. В, Сосинский, А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия . — М.: МЦНМО, 1997. — 352 с. — ISBN 5-900916-10-3.
- Мантуров, В. О. Теория узлов . — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3.
- Murasugi, K, Kurpita, B. I. A Study of Braids. — Springer, 1999. — 277 с. — (Mathematics and Its Applications). — ISBN 978-0-7923-5767-4. — doi:10.1007/978-94-015-9319-9.
Ссылки
править- Artin, E.. Theory of Braids (англ.) // Annals of Mathematics. — 1947. — Vol. 48, no. 1. — P. 101–126. — doi:10.2307/1969218.
- Baumslag, G, Myasnikov, A. G, Shpilrain V. Open problems in combinatorial group theory (англ.) // Combinatorial and Geometric Group Theory. — Contemporary Mathematics, 2002. — Vol. 296, iss. 2. — P. 1-38. — ISBN 978-0-8218-7886-6. — doi:10.1090/conm/296.
- Gonzalez-Meneses, J. The nth root of a braid is unique up to conjugacy. — Algebraic & Geometric Topology[англ.], 2003. — № 3. — С. 1103–1118.
- Малютин, А. В.. Псевдохарактеры групп кос и простота зацеплений // Алгебра и анализ. — 2009. — Т. 21, вып. 2. — С. 113—135.
- Dyer, J. L, Grossman, K. E. The Automorphism Groups of the Braid Groups. — American Journal of Mathematics, 1981. — Т. 103, № 6. — С. 1151–1169.
- CRAG: CRyptography and Groups at Algebraic Cryptography Center Contains extensive library for computations with Braid Groups
- P. Fabel, Completing Artin’s braid group on infinitely many strands, Journal of Knot Theory and its Ramifications, Vol. 14, No. 8 (2005) 979—991
- P. Fabel, The mapping class group of a disk with infinitely many holes, Journal of Knot Theory and its Ramifications, Vol. 15, No. 1 (2006) 21-29
- Группа кос — статья из Математической энциклопедии. Чернавский А. В.
- Java-приложение Архивная копия от 4 июня 2013 на Wayback Machine, моделирующее группу B5.
- C. Nayak and F. Wilczek’s connection of projective braid group representations to the fractional quantum Hall effect [1] Архивная копия от 5 октября 2018 на Wayback Machine
- Presentation for FradkinFest by C. V. Nayak [2]
- N. Read’s criticism of the reality of Wilczek-Nayak representation [3] Архивная копия от 5 октября 2018 на Wayback Machine