Проективная группа

Проективная группа — группа преобразований проективного пространства, индуцируемых линейными преобразованиями соответствующего векторного пространства. Её элементы называются проективными преобразованиями — они обобщают проективные преобразования проективной плоскости. С матричной точки зрения проективная группа — это группа всех невырожденных матриц с точностью до скалярных матриц.

Определение

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $F$ (или, более обще, над телом $K$), а $GL(V)$ — его полная линейная группа, то есть группа всех обратимых линейных преобразований. Эта группа коммутирует с гомотетиями $Z(V)$ пространства $V$ (умножениями на ненулевые константы поля $F$), а потому её элементы индуцируют преобразования проективного пространства $\mathbb {P} (V)=V/Z(V)$ (факторпространство по действию группы $Z(V)$).

Некоторые из этих индуцированных преобразований действуют на $\mathbb {P} (V)$ тривиально — это в точности элементы группы гомотетий $Z(V)\cong F^{*}$ пространства $V$. Проективная группа — это факторгруппа по ядру действия:

$PGL(V)=GL(V)/Z(V)$.

Если в пространстве $V$ явным образом выбрать координаты, то есть изоморфизм $V\cong F^{n}$ для натурального $n$, получится

$PGL_{n}(F)=GL_{n}(F)/F^{*}$,

то есть проективная группа является факторгруппой группы невырожденных матриц по подгруппе ненулевых скалярных матриц.

Обобщения

Если вместо полной линейной группы $\mathbb {G} L(V)$ взять специальную линейную группу $\mathbb {S} L(V)$, то есть ограничиться линейными преобразованиями с определителем 1, то получится проективная специальная линейная группа $PSL(V)$, также называемая унимодулярной проективной группой.

Свойства

• Если $F_{q}$ — конечное поле из $q$ элементов, то порядок группы равен $|PSL_{n}(F_{q})|=(q-1,n)^{-1}q^{n(n-1)/2}(q^{n}-1)(q^{n-1}-1)\cdots (q^{2}-1)$.
• При $n\geqslant 2$ группа $PSL_{n}(F)$ проста, за исключением случаев $PSL_{2}(F_{2})$ и $PSL_{2}(F_{3})$.