Таблица математических символов

Эта страница — глоссарий.

В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeX, объяснения и примеры использования. Список и смысл обозначений соответствует международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2.

Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, $A\subset B$ обозначает то же, что и $B\supset A.$

Знаки операций, или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.

К самым распространённым относятся:

• Плюс: +
• Минус: −
• Знаки умножения: ×, · (в программировании также *)
• Знаки деления: :, ∶, /, ∕, ÷
• Знак равенства, приближённого равенства, неравенства: =, ≈, ≠
• Знак пропорциональности: ∝
• Скобки (для определения порядка операций и др.): ( ), [ ], { }
• Среднее арифметическое:〈 〉, ̅
• Знак тождественности: ≡
• Знаки сравнения: <, >, ⩽, ⩾, ≪, ≫
• Знак порядка (тильда): ~
• Знак плюс-минус: ±
• Знак корня (радикал): √
• Факториал: !
• Знак интеграла: ∫
• Знак возведения в степень: ^ (в типографской и рукописной записи формул не применяется; используется в программировании, наряду с более редкими символами ↑ и **, а также в линейной текстовой записи формул).

Математическая логика

Символ TeX (Команда TeX)	Символ (Юникод)	Название	Значение	Пример
		Произношение
$\Rightarrow$ (\Rightarrow) $\Leftarrow$ (\Leftarrow) $\rightarrow$ (\rightarrow) $\leftarrow$ (\leftarrow) $\supset$ (\supset) $\subset$ (\subset)	⇒ ⇐ → ← ⊃ ⊂	Импликация, следование	$A\Rightarrow B$ означает «если $A$ верно, то $B$ также верно». (→ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения функции, см. ниже.) (⊃ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения надмножества, см. ниже.).	$x=2\Rightarrow x^{2}=4$ верно, но $x^{2}=4\Rightarrow x=2$ неверно, так как $x=-2$ также является решением.
		«влечёт» или «если…, то» или «отсюда следует»
$\Leftrightarrow$ (\Leftrightarrow)	⇔	Равносильность	$A\Leftrightarrow B$ означает «$A$ верно тогда и только тогда, когда $B$ верно».	$x+5=y+2\Leftrightarrow x+3=y$
		«если и только если» или «равносильно»
$\wedge$ (\wedge)	∧	Конъюнкция	$A\wedge B$ истинно тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ оба истинны.	$(n>2)\wedge (n<4)\Leftrightarrow (n=3)$, если $n$ — натуральное число.
		«и»
$\vee$ (\vee)	∨	Дизъюнкция	$A\vee B$ истинно, когда хотя бы одно из условий $A$ или $B$ истинно.	$(n\leqslant 2)\vee (n\geqslant 4)\Leftrightarrow n\neq 3$, если $n$ — натуральное число.
		«или»
$\neg$ (\neg)	¬	Отрицание	$\neg A$ истинно тогда и только тогда, когда ложно $A$.	$\neg (A\wedge B)\Leftrightarrow (\neg A)\vee (\neg B)$ $x\notin S\Leftrightarrow \neg (x\in S)$
		«не»
$\forall$ (\forall)	∀	Квантор всеобщности	$\forall x,P\left(x\right)$ обозначает «$P\left(x\right)$ верно для всех $x$».	$\forall n\in \mathbb {N} ,\;n^{2}\geqslant n$
		«Для любых», «Для всех», «Для всякого»
$\exists$ (\exists)	∃	Квантор существования	$\exists x,\;P\left(x\right)$ означает «существует хотя бы один $x$ такой, что верно $P\left(x\right)$»	$\exists n\in \mathbb {N} ,\;n+5=2n$ (подходит число 5)
		«существует»
$=$	=	Равенство	$x=y$ обозначает «$x$ и $y$ принимают одно и то же значение».	$x+y=y+x$
		«равно»
$:=$ $:\Leftrightarrow$ (:\Leftrightarrow) ${\stackrel {\rm {def}}{=}}$ (\stackrel{\rm{def}}{=})	:= :⇔ ≝	Определение	$x:=y$ означает «$x$ по определению равен $y$». $P:\Leftrightarrow Q$ означает «$P$ по определению равносильно $Q$»	${\rm {ch}}\left(x\right):={1 \over 2}\left(e^{x}+e^{-x}\right)$ (определение гиперболического косинуса) $A\oplus B:\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B)$ (определение исключающего «ИЛИ»)
		«равно/равносильно по определению»

Теория множеств и теория чисел

Символ TeX (Команда TeX)	Символ (Юникод)	Название	Значение	Пример
		Произношение
$\{,\}$	{ }	Множество элементов	$\{a,\;b,\;c\}$ означает множество, элементами которого являются $a$, $b$ и $c$.	$\mathbb {N} =\{1,\;2,\;\ldots \}$ (множество натуральных чисел)
		«Множество…»
$\{|\}$	{|}	Множество элементов, удовлетворяющих условию	$\{x\,|\,P\left(x\right)\}$ означает множество всех $x$ таких, что верно $P\left(x\right)$.	$\{n\in \mathbb {N} \,|\,n^{2}<20\}=\{1,\;2,\;3,\;4\}$
		«Множество всех… таких, что верно…»
$\varnothing$ (\varnothing) $\{\}$	∅ {}	Пустое множество	$\{\}$ и $\varnothing$ означают множество, не содержащее ни одного элемента.	$\{n\in \mathbb {N} \,|\,1<n^{2}<4\}=\varnothing$
		«Пустое множество»
$\in$ (\in) $\notin$ (\notin)	∈ ∉	Принадлежность/непринадлежность к множеству	$a\in S$ означает «$a$ является элементом множества $S$» $a\notin S$ означает «$a$ не является элементом множества $S$»	$2\in \mathbb {N}$ ${1 \over 2}\notin \mathbb {N}$
		«принадлежит», «из» «не принадлежит»
$\subseteq$ (\subseteq) $\subset$ (\subset)	⊆ ⊂	Подмножество	$A\subseteq B$ означает «каждый элемент из $A$ также является элементом из $B$». $A\subset B$ обычно означает то же, что и $A\subseteq B$. Однако некоторые авторы используют $\subset$, чтобы показать строгое включение (то есть $\subsetneq$).	$(A\cap B)\subseteq A$ $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$
		«является подмножеством», «включено в»
$\supseteq$ (\supseteq) $\supset$ (\supset)	⊇ ⊃	Надмножество	$A\supseteq B$ означает «каждый элемент из $B$ также является элементом из $A$». $A\supset B$ обычно означает то же, что и $A\supseteq B$. Однако некоторые авторы используют $\supset$, чтобы показать строгое включение (то есть $\supsetneq$).	$(A\cup B)\supseteq A$ $\mathbb {R} \supseteq \mathbb {Q}$
		«является надмножеством», «включает в себя»
$\subsetneq$ (\subsetneq)	⊊	Собственное подмножество	$A\subsetneq B$ означает $A\subseteq B$ и $A\neq B$.	$\mathbb {N} \subsetneq \mathbb {Q}$
		«является собственным подмножеством», «строго включается в»
$\supsetneq$ (\supsetneq)	⊋	Собственное надмножество	$A\supsetneq B$ означает $A\supseteq B$ и $A\neq B$.	$\mathbb {Q} \supsetneq \mathbb {N}$
		«является собственным надмножеством», «строго включает в себя»
$\cup$ (\cup)	⋃	Объединение	$A\cup B$ означает множество, содержащее все элементы из $A$ и $B$	$A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B$
		«Объединение … и …», «…, объединённое с …»
$\cap$ (\cap)	⋂	Пересечение	$A\cap B$ означает множество одинаковых элементов, принадлежащих и $A$, и $B$.	$\{x\in \mathbb {R} \,|\,x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}$
		«Пересечение … и …», «…, пересечённое с …»
$\setminus$ (\setminus)	\	Разность множеств	$A\setminus B$ означает множество элементов, принадлежащих $A$, но не принадлежащих $B$.	$\{1,\;2,\;3,\;4\}\setminus \{3,\;4,\;5,\;6\}=\{1,\;2\}$
		«разность … и …», «минус», «… без …»
$\to$ (\to)	→	Функция (отображение)	$f\colon X\to Y$ означает функцию $f$ с областью определения $X$ и областью значений $Y$.	Функция $f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} \cup \{0\}$, определённая как $f\left(x\right)=x^{2}$
		«из … в …»,
$\mapsto$ (\mapsto)	↦	Отображение	$f\colon x\mapsto f\left(x\right)$ означает, что образом $x$ после применения функции $f$ будет $f\left(x\right)$.	Функцию, определённую как $f\left(x\right)=x^{2}$, можно записать так: $f\colon x\mapsto x^{2}$
		«отображается в»
$\mathbb {N}$ (\mathbb N)	N или ℕ	Натуральные числа	$\mathbb {N}$ означает множество $\{1,\;2,\;3,\;\ldots \}$ или реже $\{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots \}$ (в зависимости от ситуации).	$\{\left|a\right|\,|\,a\in \mathbb {Z} \}=\mathbb {N}$
		«Эн»
$\mathbb {Z}$ (\mathbb Z)	Z или ℤ	Целые числа	$\mathbb {Z}$ означает множество $\{\ldots ,\;-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots \}$	$\{a,\;-a\,|\,a\in \mathbb {N} \}\cup \{0\}=\mathbb {Z}$
		«Зет»
$\mathbb {Q}$ (\mathbb Q)	Q или ℚ	Рациональные числа	$\mathbb {Q}$ означает $\left\{\left.{p \over q}\right|p\in \mathbb {Z} \wedge q\in \mathbb {N} \wedge q\neq 0\right\}$	$3,\!14\in \mathbb {Q}$ $\pi \notin \mathbb {Q}$
		«Ку»
$\mathbb {R}$ (\mathbb R)	R или ℝ	Вещественные (действительные) числа	$\mathbb {R}$ означает множество всех пределов последовательностей из $\mathbb {Q}$	$\pi \in \mathbb {R}$ $i\notin \mathbb {R}$ ($i$ — мнимая единица: $i^{2}=-1$)
		«Эр»
$\mathbb {C}$ (\mathbb C)	C или ℂ	Комплексные числа	$\mathbb {C}$ означает множество $\{a+b\cdot i\,|\,a\in \mathbb {R} \wedge b\in \mathbb {R} \}$	$i\in \mathbb {C}$
		«Це»
$\mathbb {H}$ (\mathbb H)	H или $\mathbb {H}$	Кватернионы	$\mathbb {H}$ означает множество $\{a+b\cdot i\,+c\cdot j\,+d\cdot k\,|\,a\in \mathbb {R} \wedge b\in \mathbb {R} \wedge c\in \mathbb {R} \wedge d\in \mathbb {R} \}$	$j\in \mathbb {H}$
		«Аш»

Элементарная алгебра и арифметика

Символ TeX (Команда TeX)	Символ (Юникод)	Название	Значение	Пример
		Произношение
$\pm$ (\pm) $\mp$ (\mp)	± ∓	Плюс-минус, минус-плюс	Означает, что число может быть или положительным или отрицательным.
		«плюс-минус», «минус-плюс»
$+$	+	Сложение	$x+y$ означает «сложение $x$ и $y$»; «прибавить к $x$ число $y$».	$1+2=3$
		«плюс»
$-$	−	Вычитание	$x-y$ означает «вычитание из $x$ числа $y$».	$6-3=3$
		«минус»
$\times$ $\cdot$ $*$	× · *	Умножение	$x\times y$ ($x\cdot y$ или $xy$) означает «$x$ умножить на $y$».	$2\times 4=8$
		«умножить на»
$\div$ $:$ $/$	÷ : /	Деление	$x\div y$ ($x:y$ или $x/y$) означает «$x$ разделить на $y$».	$16\div 2=8$
		«разделить на»
$=$	=	Равенство	$x=y$ означает «$x$ и $y$ принимают одно и то же значение».	$x+y=y+x$
		«равно»
$\neq$ (\ne)	≠	Неравенство	$x\neq y$ означает, что $x$ не равен $y$.	$x-y\neq y-x$
		«не равно»
$<$$>$	<>	Сравнение	$x<y$ означает, что $x$ строго меньше $y$. $x>y$ означает, что $x$ строго больше $y$.	$x<y\Leftrightarrow y>x$
		«меньше чем», «больше чем»
$\leqslant$ или $\leq$(\leqslant или \leq)$\geqslant$ или $\geq$(\geqslant или \geq)	⩽ или ≤ ⩾ или ≥	Сравнение	$x\leqslant y$ означает, что $x$ меньше или равен $y$. $x\geqslant y$ означает, что $x$ больше или равен $y$.	$x\geqslant 1\Rightarrow x^{2}\geqslant x$ $0\leqslant x\leqslant 1\Rightarrow x\leqslant {\sqrt {x}}$
		«меньше или равно», «больше или равно»
$\gtrless$(\gtrless)		Сравнение
		«более-менее»
$\approx$(\approx)	≈	Приблизительное равенство	$e\approx 2,\!718$ с точностью до 10−3 означает, что 2,718 отличается от $e$ не больше чем на 10−3.	$\pi \approx 3,\!1415926$ с точностью до 10−7.
		«приблизительно равно»
$\equiv$ (\equiv)	≡	Тождественное равенство	Означает, что равенство верно при всех значениях переменной.	$x^{1}\equiv x$
		«тождественно равно»
$\propto$(\propto)	∝	Пропорциональность	$a\propto b$ означает, что есть такое число k, что $a=kb$ (тогда говорят, что $k$ — коэффициент пропорциональности).	$U(\theta )\propto e^{-[{\frac {\pi \sigma \sin \theta }{\lambda }}]^{2}}$
		«пропорционально»
${\sqrt {}}$ (\sqrt{}) ${\sqrt[{n}]{}}$ (\sqrt[n]{})	√	Арифметический квадратный корень	${\sqrt {x}}$ означает неотрицательное действительное число, которое в квадрате даёт $x$ (равнозначно записи ${\sqrt[{2}]{x}}$).	${\sqrt {4}}=2$ ${\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|$
		«корень квадратный из …»
	∛ ∜	Кубический корень Корень четвёртой степени	${\sqrt[{3}]{y}}=x$, если $x^{3}=y$ (то есть $x\cdot x\cdot x=y$ ); ${\sqrt[{4}]{b}}=a$, если $a^{4}=b$ (аналогично $a\cdot a\cdot a\cdot a=b$).	${\sqrt[{3}]{27}}=3$ ${\sqrt[{4}]{16}}=2$
$\infty$(\infty)	∞	Бесконечность	$+\infty$ и $-\infty$ суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, большие/меньшие всех действительных чисел.	$\lim \limits _{x\to 0}{1 \over \left|x\right|}=\infty$
		«плюс/минус бесконечность»

Общая алгебра

Символ TeX (Команда TeX)	Символ (Юникод)	Название	Значение	Пример
		Произношение
$\triangleleft$	⊲	Нормальная подгруппа, идеал кольца	$H\triangleleft G$ означает «$H$ является нормальной подгруппой группы $G$», если $G$ — группа, и «$H$ является (двусторонним) идеалом кольца $G$», если $G$ — кольцо.
		«нормальна в», «… является идеалом …»
$[\,:\,]$	[ : ]	Индекс подгруппы, размерность поля	$[G:H]$ означает «индекс подгруппы $H$ в группе $G$», если $G$ — группа, и «размерность поля $H$ над полем $G$», если $G$ и $H$ — поля.
		«индекс … в …», «размерность … над …»
$\times$	×	Прямое произведение групп	$G\times H$ означает «прямое произведение групп $G$ и $H$».
		«прямое произведение … и …»
$\oplus$	⊕	Прямая сумма подпространств	$V=V_{1}\oplus V_{2}$ означает «пространство $V$ разлагается в прямую сумму подпространств $V_{1}$ и $V_{2}$».
		«прямая сумма … и …»
$[\,,\,]$	[ , ]	Коммутатор элементов группы	$[g,\,h]$ означает «коммутатор элементов $g$ и $h$ группы $G$», то есть элемент $ghg^{-1}h^{-1}$.
		«коммутатор … и …»
$G^{\prime }$	G'	Коммутант	$G^{\prime }$ означает «коммутант группы $G$».
		«коммутант …»
$\langle \ \rangle _{n}$	⟨ ⟩n	Циклическая группа	$\langle a\rangle _{n}$ означает «циклическая группа порядка $n$, порождённая элементом $a$».
		«Циклическая группа порядка $n$, порождённая $a$»
$*$	*	Мультипликативная группа поля	$F^{*}$ означает «мультипликативная группа поля $F$», если $F$ — поле.
		«мультипликативная группа …»

Линейная алгебра

Символ TeX (Команда TeX)	Символ (Юникод)	Название	Значение	Пример
		Произношение
$\otimes$	⊗	Тензорное произведение	$T_{1}\otimes T_{2}$ означает «тензорное произведение тензоров $T_{1}$ и $T_{2}$».
		«тензорное произведение … и …»
$A^{T}$	AT	Транспонированная матрица	$A^{T}$ означает «транспонированная матрица $A$».
		«транспонированная матрица …»
$E_{i,\,j}$	Ei, j	Матричная единица	$E_{i,\,j}$ означает «матричная $i,\;j$-единица», то есть матрица, у которой на месте $(i,\;j)$ стоит единица, а на остальных местах — нули.
		«матричная единица …»
$*$	*	Сопряжённый оператор Сопряжённое пространство	${\mathcal {A}}^{*}$ означает «линейный оператор, сопряжённый к ${\mathcal {A}}$», если ${\mathcal {A}}$ — линейный оператор. $V^{*}$ означает «линейное пространство, сопряжённое к $V$ (дуальное к $V$)», если $V$ — линейное пространство.
		«оператор, сопряжённый к …»; «пространство, сопряжённое к …»;

Анализ

Символ TeX (Команда TeX)	Символ (Юникод)	Название	Значение	Пример
		Произношение
$\infty$(\infty)	∞	Бесконечность	$+\infty$ и $-\infty$ суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, большие/меньшие всех действительных чисел.	$\lim \limits _{x\to 0}{1 \over \left|x\right|}=\infty$
		«Плюс/минус бесконечность»
$\int dx$(\int dx)	∫	Интеграл	$\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\,dx$ означает «интеграл от $a$ до $b$ функции $f$ от $x$ по переменной $x$».	$\int \limits _{0}^{b}x^{2}\,dx={\frac {b^{3}}{3}}$;$\int x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}+C$
		«Интеграл (от … до …) функции … по (или d)…»
${\begin{aligned}&{\frac {df}{dx}}\\&f'\left(x\right)\,\\\end{aligned}}$	df/dx f'(x)	Производная	${\frac {df}{dx}}$ или $f'\left(x\right)$ означает «(первая) производная функции $f$ от $x$ по переменной $x$».	${\frac {d\cos x}{dx}}=-\sin x$
		«Производная … по …»
${\frac {\partial f\left(x,y,z,\ldots \right)}{\partial y}}$(\partial для ∂)	∂f/∂y	Частная производная	${\frac {\partial f\left(x,y,z,\ldots \right)}{\partial y}}$ означает «(первая) частная производная функции $f$ от переменных $x,y,z,\ldots$ по переменной $y$».	${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial y}}\left(x^{2}\cos xy\right)=\\&=\left.{\frac {d}{dy}}\left(x^{2}\cos xy\right)\right|_{x\,=\,\mathrm {const} }\\&=-x^{3}\sin xy\\\end{aligned}}$
		«Частная производная … по …»
${\begin{aligned}&{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\\&f^{\left(n\right)}\left(x\right)\,\\\end{aligned}}$	dnf/dxn f(n)(x)	Производная $n$-го порядка	${\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}$ или $f^{\left(n\right)}\left(x\right)$ означает «$n$-я производная функции $f$ по переменной $x$» (при втором способе записи, если $n$ — фиксированное число, то оно пишется либо арабскими цифрами в круглых скобках, либо римскими цифрами без скобок)	$\cos ^{IV}x={\frac {d^{4}\cos x}{dx^{4}}}=\cos x$.
		«$n$-я производная … по …»

Другое

Символ TeX (Команда TeX)	Символ (Юникод)	Название	Значение	Пример
		Произношение
		Раздел математики
$\left|\;\right|$(\left| \right|)	| |	Абсолютная величина (абсолютное значение) числа или длина (модуль) вектора. В контексте теории множеств может иметь другой смысл — мощность множества	$\left|x\right|$ обозначает абсолютную величину $x$. $|A|$ обозначает мощность множества $A$ и равняется, если $A$ конечно, числу элементов $A$.	$\left|a+b\ i\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
		«Модуль»; «мощность»
		Числа и Теория множеств
$\sum$(\sum)	∑	Сумма (набора чисел), сумма ряда	$\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ означает «сумма $a_{k}$, где $k$ принимает значения от 1 до $n$», то есть $a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}$. $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ означает сумму ряда, состоящего из $a_{k}$.	$\sum _{k=1}^{4}k^{2}={\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}}{\displaystyle =30}$
		«Сумма … по … от … до …»
		Арифметика, Математический анализ
$\prod$(\prod)	∏	Произведение (набора чисел), произведение ряда	$\prod _{k=1}^{n}a_{k}$ означает «произведение $a_{k}$ для всех $k$ от 1 до $n$», то есть $a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}$	$\prod _{k=1}^{4}(k+2)=3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=360$
		«Произведение … по … от … до …»
		Арифметика, Математический анализ
$!$	!	Факториал	$n!$ означает произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно, то есть $1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n$	$n!=\prod _{k=1}^{n}k=(n-1)!n$; $0!=1$; $5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$;
		«$n$ факториал»
		Комбинаторика

См. также

• Таблица обозначений абстрактной алгебры
• История математических обозначений
• Список математических аббревиатур
• Список обозначений в физике

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6.

Ссылки

• Арифметические знаки // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.