Знак умножения

×

⋅

Знак умноже́ния — математический знак операции умножения. В качестве знака умножения, согласно ГОСТ Р 54521-2011^[1], используется один из следующих символов^[2]:

Точка (посередине строки)
- ⋅^[3]^[4]: $a\cdot b$ . В некоторых шрифтах 22С5 на более высокой позиции в строке (используется math centerline вместо text baseline), также может быть кругом (тогда как начертания 00B7 могут быть разными в разных шрифтах) или отображаться квадратной точкой. Юникод отмечает 22С5 более предпочтительным в математическом использовании^[4] по сравнению с 00B7. В ISO 80000-2:2009 входило нормативное приложение Annex A "Clarification of the symbols used" с таблицей A.1, в которой для умножения (2-9.5) был явно указан "dot operator 22C5". В ISO 80000-2:2019 такого приложения уже не содержалось. Действующий ГОСТ 54521 содержит такую таблицу, определяющую символ точки как 22C5^[1].
- часто в простой текстовой записи используют интерпункт 00B7, который легче набрать ·
Косой крестик ×^[5]: $a\times b$ . Используется преимущественно в младших классах школы.

В языках программирования и информатике умножение часто обозначается звёздочкой: a * b. Иногда для умножения с плавающей запятой используется символ «circled times»^[6]: $a\otimes b.$

До появления компьютеров в текстах, напечатанных на пишущей машинке, знак умножения мог изображаться как строчная буква х или x.

Если второй сомножитель обозначен буквой, знак умножения обычно опускается^[2]; то же, если второй сомножитель заключён в скобки или обозначает имя функции (в последнем случае, во избежание ошибок, может понадобиться пробел между сомножителями). Примеры:

ab;\quad 2x;\quad A\ \sin(\varphi )

Присутствующее умножение может быть обозначено невидимым символом ⁢ U+2062 invisible times^[7].

История

Самый старый из используемых символов умножения — косой крестик (×). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» (1631, Лондон)^[8]^[9]. До него использовали чаще всего букву M, предложенную в 1545 году Михаэлем Штифелем и поддержанную Симоном Стевином. Позднее предлагались и другие обозначения^[10]^[11]^[12]:

латинское слово in (Франсуа Виет);
символ прямоугольника в начале произведения и запятую в конце (Эригон, 1634);
звёздочку (Иоганн Ран, она появилась в его книге «Teutsche Algebra», 1659);
букву x (в одном из трудов Валлиса,1655); возможно, это типографская ошибка, так как на одной странице у Валлиса встречаются и буква x, и косой крестик.

Готфрид Лейбниц, поэкспериментировав с несколькими разными символами, в конце концов решил заменить крестик на точку (1698 год)^[8], чтобы не путать его с буквой x; до него такая символика встречалась у Региомонтана (XV век) и Томаса Хэрриота. Многие математики, начиная с Диофанта, вместо знака умножения просто записывали операнды подряд^[12]^[10].

Использование

Символ ×

Кроме умножения чисел, символ $\times$ используется во многих других ситуациях. Примеры.

Векторное произведение двух векторов^[13]: ${\vec {a}}\times {\vec {b}}.$
Декартово произведение двух множеств^[14]: $A\times B.$
Число строк и столбцов в матрице: $n\times n.$
Для ряда (группы) числовых значений одной величины используется знак ×. Например, геометрический размер (габариты) объекта 50 × 10 × 10 мм^[15].
Используется в языке программирования APL как унарный оператор для обозначения функции знака (sgn).
Статистическое взаимодействие между двумя независимыми переменными.
Код увеличения, например — $10\times$ — означает десятикратное увеличение.
В таксономии знак умножения используется в качестве знака гибридного происхождения.
В советском варианте шахматной нотации знак умножения служит для обозначения мата.

Для ввода с клавиатуры символа $\times$ в среде Microsoft Windows следует, прижав клавишу Alt, набрать на цифровой клавиатуре сочетание^[16] Alt+0215.

Символ интерпункта

Центрированная точка используется в некоторых древних и современных языках для словоразделения, указания особенностей произношения и т. д. В математике она может обозначать скалярное произведение векторов, произведение матриц и других математических объектов.

Для случая устаревшего британского десятичного разделителя "raised decimal point" (подробнее en:Decimal separator#History) Юникод отмечает предпочтительным использование символа 00B7 middle dot^[7].

Для ввода с клавиатуры символа интерпункта в среде Microsoft Windows следует, прижав клавишу Alt, набрать на цифровой клавиатуре сочетание Alt+250 (для жирной точки — Alt+0149)^[16].

Кодировка

Знаки пунктуации^[4]:

Кодировка по Unicode, HTML и LaTeX
Знак	Unicode		HTML			LAΤΕΧ
Знак	Код	Название	Шестнадцатеричное	Десятичное	Мнемоника^[17]	LAΤΕΧ
*	U+002A	asterisk	`*`	`*`	`&ast;`	*
•	U+2022	bullet	`∙`	`•`	`•` `&bullet;`
·	U+00B7	middle dot	`·`	`·`	`·` `&middot` `·` `·`	—

Математические операторы:

Кодировка по Unicode, HTML и LaTeX
Знак	Unicode		HTML			LAΤΕΧ
Знак	Код	Название	Шестнадцатеричное	Десятичное	Мнемоника^[17]	LAΤΕΧ
×	U+00D7	multiplication sign	`×`	`×`	`×` `&times`	`\times`
⁢⁢	U+2062	invisible times¹	`⁢`	`⁢`	`⁢` `⁢`
∗	U+2217	asterisk operator	`∗`	`∗`	`&lowast;`	`\ast`
∙	U+2219	bullet operator	`∙`	`∙`	—	`\bullet`
⋅	U+22C5	dot operator	`⋅`	`⋅`	`⋅`	`\cdot`

¹ используется, чтобы сомножители не разбивались на разные строки, переносились вместе^{[источник не указан 864 дня]}.

Дингбаты^[англ.] (оформление):

Кодировка по Unicode, HTML и LaTeX
Знак	Unicode		HTML			LAΤΕΧ
Знак	Код	Название	Шестнадцатеричное	Десятичное	Мнемоника	LAΤΕΧ
✕	U+2715	multiplication x	`✕`	`✕`	—	—
✖	U+2716	heavy multiplication x	`✖`	`✖`	—	—

Другие варианты и связанные символы:

U+2297 ⊗ circled times (HTML ⊗ · &otimes;)
U+2A09 ⨉ n-ary times operator (HTML ⨉)
U+2A2F ⨯ vector or cross product (HTML ⨯)
U+2A30 ⨰ multiplication sign with dot above (HTML ⨰)
U+2A31 ⨱ multiplication sign with underbar (HTML ⨱)
U+2A34 ⨴ multiplication sign in left half circle (HTML ⨴)
U+2A35 ⨵ multiplication sign in right half circle (HTML ⨵)
U+2A36 ⨶ circled multiplication sign with circumflex accent (HTML ⨶)
U+2A37 ⨷ multiplication sign in double circle (HTML ⨷)
U+2A3B ⨻ multiplication sign in triangle (HTML ⨻)
U+2AC1 ⫁ subset with multiplication sign below (HTML ⫁)
U+2AC2 ⫂ superset with multiplication sign below (HTML ⫂)

Примечания

↑ ¹ ² ГОСТ 54521.
↑ ¹ ² Математическая энциклопедия, 1985.
↑ математический оператор U+22C5 dot operator ⋅. Юникод отделяет его использование от пунктационного интерпункта U+00B7 middle dot ·. Unicode Consortium. 22C5 // Unicode 14.0.0 Code Charts. Mathematical Operators. Range: 2200-22FF (англ.). — 2021. Архивировано 15 июня 2018 года.
↑ ¹ ² ³ Unicode14, 2021, 22.5 Mathematical symbols. Mathematical Operators: U+220-U+22F. Disunifications, с. 870.
↑ Mathematical Operator × U+00D7 multiplication sign Unicode Consortium. 00D7 // Unicode 14.0.0 Code Charts. C1 Controls and Latin-1 Supplement. Range: 0080-00FF (англ.). — 2021. Архивировано 15 июня 2018 года.
↑ MathWorld.
↑ ¹ ² Unicode14, 2021, 22.6 Invisible Mathematical Operators. Invisible Multiplication, с. 870.
↑ ¹ ² Умножение : [арх. 19 октября 2022] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
↑ William Oughtred. Clavis Mathematicae. — 1667. — P. 10. — «Multiplicatio speciosa connectit utramque magintudinem propositam cum notâ in vel ×: vel plerumque absque notâ, si magnitudines denotentur unica litera». Источник (неопр.). Дата обращения: 6 июля 2021. Архивировано 9 июля 2021 года.
↑ ¹ ² Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 141. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §186, 195, 282.
↑ ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §217, 232—233.
↑ Cross Product (неопр.). Дата обращения: 6 июля 2021. Архивировано 10 мая 2021 года.
↑ Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — С. 10. — 176 с.
↑ МИ 2630-2000 «ГСИ. Метрология. Физические величины и их единицы. Рекомендация» п. 8.7 стр. 30
↑ ¹ ² Знаки умножения на клавиатуре Архивная копия от 9 июля 2021 на Wayback Machine.
↑ ¹ ² w3c. HTML Living Standard. 13.5 Named character references (англ.). html.spec.whatwg.org (6 июля 2022). Дата обращения: 8 июля 2022. Архивировано 2 июля 2022 года.

См. также

Литература

Иванова О. А. Умножение чисел // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 495—496. — 1248 с.
Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.
Unicode Consortium. The unicode standard. Version 14 - Core Specification (англ.). — Mountain View, 2021. — ISBN 9781936213290.
ГОСТ Р 54521-2011 (неопр.). protect.gost.ru. Дата обращения: 12 июля 2022. (оригинальный, = ISO 80000-2:2009)
- ГОСТ Р 54521-2011 НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Статистические методы. Математические символы и знаки для применения в стандартах (неопр.). Дата обращения: 7 июля 2021. Архивировано 9 июля 2021 года. (распознанный)
5.4.6 Умножение и деление обозначений величин, значений величин или чисел // Брошюра «Международная система единиц SI» 2019 год. — 9-е изд. — Росстандарт, 2019. — С. 34. — 96 с.
- SI Brochure: The International System of Units (SI) (англ.). — 2019.
ISO 80000-1:2009 7.2.2 Combination of symbols for units стр. 25, 7.3.3 Multiplication and division "a cross or a half-high dot" стр. 27 (напр. BS ISO 80000-1:2009)
ISO 80000-2:2019 “Quantities and units — Part 2: Mathematics” п. 2-9.5 "half high dot or a cross" (напр. BS ISO 80000-2:2009 п. 2-9.5, SASO ISO-800000-2-2020 п. 2-10.5)
МИ 2630-2000 «ГСИ. Метрология. Физические величины и их единицы. Рекомендация» ВНИИМ п. 8.7 (ряд числовых значений), 8.11, 9.7
Математические знаки : [арх. 3 декабря 2022] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Times (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[_ca7d2449f322625e-1] ¹ ² ГОСТ 54521.

[ME-2] ¹ ² Математическая энциклопедия, 1985.

[3] математический оператор U+22C5 dot operator ⋅. Юникод отделяет его использование от пунктационного интерпункта U+00B7 middle dot ·. Unicode Consortium. 22C5 // Unicode 14.0.0 Code Charts. Mathematical Operators. Range: 2200-22FF (англ.). — 2021. Архивировано 15 июня 2018 года.

[_420b218da293b8fb-4] ¹ ² ³ Unicode14, 2021, 22.5 Mathematical symbols. Mathematical Operators: U+220-U+22F. Disunifications, с. 870.

[5] Mathematical Operator × U+00D7 multiplication sign Unicode Consortium. 00D7 // Unicode 14.0.0 Code Charts. C1 Controls and Latin-1 Supplement. Range: 0080-00FF (англ.). — 2021. Архивировано 15 июня 2018 года.

[_d6eb3ac8945940f1-6] MathWorld.

[_f364041065d04f76-7] ¹ ² Unicode14, 2021, 22.6 Invisible Mathematical Operators. Invisible Multiplication, с. 870.

[LEIB-8] ¹ ² Умножение : [арх. 19 октября 2022] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.

[9] William Oughtred. Clavis Mathematicae. — 1667. — P. 10. — «Multiplicatio speciosa connectit utramque magintudinem propositam cum notâ in vel ×: vel plerumque absque notâ, si magnitudines denotentur unica litera». Источник (неопр.). Дата обращения: 6 июля 2021. Архивировано 9 июля 2021 года.

[AL141-10] ¹ ² Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 141. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.

[CAJ1-186-11] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §186, 195, 282.

[CAJ1-217-12] ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §217, 232—233.

[13] Cross Product (неопр.). Дата обращения: 6 июля 2021. Архивировано 10 мая 2021 года.

[14] Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — С. 10. — 176 с.

[15] МИ 2630-2000 «ГСИ. Метрология. Физические величины и их единицы. Рекомендация» п. 8.7 стр. 30

[KB-16] ¹ ² Знаки умножения на клавиатуре Архивная копия от 9 июля 2021 на Wayback Machine.

[htmlspec-17] ¹ ² w3c. HTML Living Standard. 13.5 Named character references (англ.). html.spec.whatwg.org (6 июля 2022). Дата обращения: 8 июля 2022. Архивировано 2 июля 2022 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]