Функция делителей

Фу́нкция дели́телей — арифметическая функция, связанная с делителями целого числа. Функция известна также под именем фу́нкция диви́зоров. Применяется, в частности, при исследовании связи дзета-функции Римана и рядов Эйзенштейна для модулярных форм. Изучалась Рамануджаном, который вывел ряд важных равенств в модульной арифметике и арифметических тождествах.

Функция делителей от σ0(n) до n = 250
Сигма-функция от σ1(n) до n = 250
Сумма квадратов делителей, от σ2(n), до n = 250

С этой функцией тесно связана суммирующая функция делителей, которая, как следует из названия, является суммой функции делителей.

Определение

править

Функция «сумма положительных делителей»   для вещественного или комплексного числа   определяется как сумма  степеней положительных делителей числа n. Функцию можно выразить формулой

 

где   означает «d делит n». Обозначения d(n), ν(n) и τ(n) (от немецкого Teiler = делитель) используются также для обозначения σ0(n), или функции числа делителей [1][2]. Если z равен 1, функция называется сигма-функцией или суммой делителей[3], и индекс часто опускается, так что σ(n) эквивалентна σ1(n)[4].

Аликвотная сумма s(n) для n — это сумма собственных делителей (то есть всех делителей, за исключением самого n[5], и равна σ1(n) − n. Аликвотная последовательность для n образуется последовательным вычислением аликвотной суммы, то есть каждое последующее значение в последовательности равно аликвотной сумме предыдущего значения.

Примеры

править

Например, σ0(12) — количество делителей числа 12:

 

в то время как σ1(12) — сумма всех делителей:

 

и аликвотная сумма s(12) собственных делителей равна:

 

Таблица значений

править
n Делители σ0(n) σ1(n) s(n) = σ1(n) − n Комментарии
1 1 1 1 0 квадрат: значение σ0(n) нечётно; степень 2: s(n) = n − 1 (почти совершенное)
2 1,2 2 3 1 простое: σ1(n) = 1+n, так что s(n) =1
3 1,3 2 4 1 простое: σ1(n) = 1+n, так что s(n) =1
4 1,2,4 3 7 3 квадрат: σ0(n) нечётно; степень 2: s(n) = n − 1 (почти совершенное)
5 1,5 2 6 1 простое: σ1(n) = 1+n, так что s(n) =1
6 1,2,3,6 4 12 6 первое совершенное число: s(n) = n
7 1,7 2 8 1 простое: σ1(n) = 1+n, так что s(n) =1
8 1,2,4,8 4 15 7 степень 2: s(n) = n − 1 (почти совершенное)
9 1,3,9 3 13 4 квадрат: σ0(n) нечётно
10 1,2,5,10 4 18 8
11 1,11 2 12 1 простое: σ1(n) = 1+n, так что s(n) =1
12 1,2,3,4,6,12 6 28 16 первое избыточное число: s(n) > n
13 1,13 2 14 1 простое: σ1(n) = 1+n, так что s(n) =1
14 1,2,7,14 4 24 10
15 1,3,5,15 4 24 9
16 1,2,4,8,16 5 31 15 квадрат: σ0(n) нечётно; степень 2: s(n) = n − 1 (почти совершенное)

Случаи  ,   и так далее входят в последовательности A001157, A001158, A001159, A001160, A013954, A013955

Свойства

править

Для целых, не являющихся квадратами, каждый делитель d числа n имеет парный делитель n/d, а значит,   всегда чётно для таких чисел. Для квадратов один делитель, а именно  , не имеет пары, так что для них   всегда нечётно.

Для простого числа p,

 

поскольку, по определению, простое число делится только на единицу и самого себя. Если pn# означает праймориал, то

 


Ясно, что   и   для всех  .

Функция делителей мультипликативна, но не вполне мультипликативна.

Если мы запишем

 ,

где r = ω(n) — число простых делителей числа n, pi — i-й простой делитель, а ai — максимальная степень pi, на которую делится n, то

 ,

что эквивалентно:

 

Если положить x = 0, получим, что d(n) равно:

 

Например, число n = 24 имеет два простых делителя — p1 = 2 и p2 = 3. Поскольку 24 — это произведение 23×31, то a1 = 3 и a2 = 1.

Теперь мы можем вычислить  :

 

Восемь делителей числа 24 — это 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, и 24.

Заметим также, что s(n) = σ(n) − n. Здесь s(n) обозначает сумму собственных делителей числа n, то есть делителей, за исключением самого числа n. Эта функция используется для определения совершенности числа — для них s(n) = n. Если s(n) > n, n называется избыточным, а если s(n) < n, n называется недостаточным.

Если n — степень двойки, то есть  , то   и s(n) = n — 1, что делает n почти совершенным.

Как пример, для двух простых p и q (где p < q), пусть

 

Тогда

 
 

и

 
 

где φ(n) — функция Эйлера.

Тогда корни p и q уравнения:

 

можно выразить через σ(n) и φ(n) :

 
 

Зная n и либо σ(n), либо φ(n) (или зная p+q и либо σ(n), либо φ(n)) мы легко можем найти p и q.

В 1984 году Хиз-Браун (Roger Heath-Brown) доказал, что

 

встречается бесконечно много раз.

Связь с рядами

править

Два ряда Дирихле, использующие функцию делителей:

 

и при обозначении d(n) = σ0(n) получим

 

и второй ряд,

 

Ряд Ламбера, использующий функцию делителей:

 

для любого комплексного |q| ≤ 1 и a.

Эта сумма появляется также в рядах Фурье для рядов Эйзенштейна и в инвариантах эллиптических функций Вейерштрасса.

Асимптотическая скорость роста

править

В терминах о-малое функция делителей удовлетворяет неравенству (см. стр. 296 книги Апостола[6])

для всех  

Северин Вигерт дал более точную оценку

 

С другой стороны, ввиду бесконечности количества простых чисел,

 

В терминах О-большое, Дирихле показал, что средний порядок функции делителей удовлетворяет следующему неравенству (см. теорему 3.3 книги Апостола)

для всех  

где   — постоянная Эйлера — Маскерони.

Задача улучшить границу   в этой формуле — это проблема Дирихле о делителях

Поведение сигма-функции неравномерно. Асимптотическую скорость роста сигма-функции можно выразить формулой:

 

где lim sup — верхний предел. Этот результат является теоремой Грёнвалла (Grönwall), опубликованной в 1913 году[7]. Его доказательство использует третью теорему Мертенса, которая утверждает, что

 

где p — простое.

В 1915 году Рамануджан доказал, что при выполнении гипотезы Римана неравенство

  (неравенство Робина)

выполняется для всех достаточно больших n[8]. В 1984 году Гай Робин доказал, что неравенство верно для всех n ≥ 5041 в том и только в том случае, если гипотеза Римана верна[9]. Это теорема Робина и неравенство стало широко известно после доказательства теоремы. Наибольшее известное число, нарушающее неравенство — это n=5040. Если гипотеза Римана верна, то нет чисел, больших этого и нарушающих неравенство. Робин показал, что в случае ошибочности гипотезы существует бесконечно много чисел n, нарушающих неравенство, и известно, что наименьшее из таких чисел n ≥ 5041 должно быть сверхизбыточным числом[10]. Было показано, что неравенство выполняется для больших нечётных свободных от квадратов чисел, и что гипотеза Римана эквивалентна выполнению неравенства для всех чисел n, делящихся на пятую степень простого числа[11]

Джефри Лагариас (Jeffrey Lagarias) в 2002 году доказал, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению

 

для любого натурального n, где   — nгармоническое число[12].

Робин доказал, что неравенство

 

выполняется для n ≥ 3 без каких-либо дополнительных условий.

Примечания

править
  1. Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950 стр 46
  2. последовательность A000005 в OEIS
  3. Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766 , стр 58
  4. последовательность A000203 в OEIS
  5. последовательность A001065 в OEIS
  6. "Apostol Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
  7. Grönwall, Thomas Hakon (1913), «Some asymptotic expressions in the theory of numbers», Transactions of the American Mathematical Society 14: 113—122, doi:10.1090/S0002-9947-1913-1500940-6
  8. Ramanujan, Srinivasa (1997), «Highly composite numbers, annotated by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin», The Ramanujan Journal 1 (2): 119—153, doi:10.1023/A:1009764017495, ISSN 1382-4090, MR 1606180
  9. Robin, Guy (1984), «Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série 63 (2): 187—213, ISSN 0021-7824, MR 774171
  10. Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), «Superabundant numbers and the Riemann hypothesis», American Mathematical Monthly 116 (3): 273—275, doi:10.4169/193009709X470128
  11. YoungJu Choie, Nicolas Lichiardopol Pieter Moree Patrick Solé On Robin’s criterion for the Riemann hypothesis 2007 Journal de théorie des nombres de Bordeaux, ISSN=1246-7405, v19, issue 2, pages=357-372
  12. Lagarias, Jeffrey C. (2002), «An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis», The American Mathematical Monthly 109 (6): 534—543, doi:10.2307/2695443, ISSN 0002-9890, JSTOR 2695443, MR 19080

Ссылки

править