Гармоническое число

В математике nгармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:

Гармоническое число , где (красная линия) и его асимптотический предел (синяя линия).

Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.

Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана.

Альтернативные определения

править
  • Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:
     
  • Также верно соотношение:
     ,
    где   — дигамма-функция,   — постоянная Эйлера — Маскерони.
  • Еще соотношения:
     
     
    где   в точке   - верхняя конечная разность n-го порядка функции  .

Дополнительные представления

править

Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычисления гармонических чисел (в том числе и в точках, отличных от точек натурального ряда):

  • интегральные представления:
     
  • предельные представления:
     
     ;
  • разложение в ряд Тейлора в точке  :
     
    где   — дзета-функция Римана;
  • асимптотическое разложение:
     .

Производящая функция

править

 

Свойства

править

Значения от нецелого аргумента

править
  •  
  •  
  •  
  •  
где   — золотое сечение.
  •  

Суммы, связанные с гармоническими числами

править
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Тождества, связанные с гармоническими числами

править
  •  
  •  , где  
  •  , где  
  •  

Приближённое вычисление

править

С помощью формулы суммирования Эйлера-Маклорена получаем следующую формулу:

 

где  ,   — постоянная Эйлера, которую можно вычислить быстрее из других соображений[каких?], а   — числа Бернулли.

Теоретико-числовые свойства

править
  • Теорема Вольстенхольма утверждает, что для всякого простого числа   выполняется сравнение:
     

Некоторые значения гармонических чисел

править
   

Числитель и знаменатель несократимой дроби, представляющей собой n-e гармоническое число, являются n-ми членами целочисленных последовательностей A001008 и A002805, соответственно.

Приложения

править

В 2002 году Lagarias доказал[1], что гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана эквивалентна утверждению, что неравенство

 

верно при всех целых   со строгим неравенством при  , где   — сумма делителей числа  .

См. также

править

Примечания

править
  1. Jeffrey Lagarias. An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis // Amer. Math. Monthly. — 2002. — № 109. — С. 534-543. Архивировано 27 июня 2021 года.