Модулярная функция

Модулярная функция — мероморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости (то есть на множестве $\mathbb {H} =\{x+iy\mid y>0;x,y\in \mathbb {R} \}$), являющаяся инвариантной относительно превращений модулярной группы или некоторой её подгруппы и удовлетворяющая условиям голоморфности в параболических точках. Модулярные функции и обобщающие их модулярные формы широко используются в теории чисел, а также в алгебраической топологии и теории струн.

Формально, модулярной функцией называется мероморфная функция, удовлетворяющая условию:

$f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)$

для каждой матрицы:

$\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)$,

принадлежащей модулярной группе $PSL(2,\mathbb {Z} )$.

Модулярная форма

Модулярной формой веса $k$ для группы $\Gamma _{0}(N)$ называется голоморфная функция $f\colon H\rightarrow C$, удовлетворяющая условию:

$f(g\tau )=(c\tau +d)^{k}f(\tau )$ для любых $g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)$ и $\tau \in H$

и голоморфная во всех параболических точках.

Пусть $H$ — верхняя комплексная полуплоскость: $H=\left\{z\in C\mid \mathop {\mathrm {Im} } (z)>0\right\}$. Группа матриц $\Gamma _{0}(N)$ для натурального числа $N$ определяется как:

$\Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{2}\;{\Big \vert }\;c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}$.

Группа $\Gamma _{0}(N)$ действует на $H$ с помощью дробно-линейных преобразований $g\tau ={\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},$ где $g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)$ и $\tau \in H$.

Свойства модулярных форм

Модулярные формы нечётного веса равны нулю. Модулярной формой веса $2k$ является (при $k>1$) ряд Эйзенштейна:

$G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\backslash (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}$,

где $z\in \mathbb {H}$.

Пусть

$g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-4},\qquad g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-6}$

— модулярные инварианты, $\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}$ — модулярный дискриминант. Определив следующим образом основной модулярный инвариант (j-инвариант):

$j(\tau )=1728{g_{2}^{3} \over \Delta }$,

выполняются равенства:

$g_{2}(\tau +1)=g_{2}(\tau ),\;g_{2}(-\tau ^{-1})=\tau ^{4}g_{2}(\tau )$,

$\Delta (\tau +1)=\Delta (\tau ),\;\Delta (-\tau ^{-1})=\tau ^{12}\Delta (\tau )$.

Также данные функции удовлетворяют соответствующие свойства голоморфности. То есть $g_{2}$ — модулярная форма веса 4, $\Delta$ — модулярная форма веса 12. Соответственно $g_{2}^{3}$ — модулярная форма веса 12, а $j(z)$ — модулярная функция. Данные функции имеют важное применение в теории эллиптических функций и эллиптических кривых.

Литература

• Сарнак П. Модулярные формы и их приложения. — М.: ФАЗИС, 1998. — ISBN 5-70364029-4.
• Tom M. Apostol. Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. — New York: Springer-Verlag, 1990. — ISBN 0-387-97127-0.
• Robert A. Rankin. Modular forms and functions. — Cambridge: Cambridge University Press, 1977. — ISBN 0-521-21212-X.
• В.В. Прасолов, Ю.П. Соловьев. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. — Факториал, 1997. — 288 с. — ISBN 5-88688-018-6.

Ссылки

• J. S. Milne, Modular functions and modular forms, курс лекций.