Избыточное число
Избыточное число — положительное целое число , сумма положительных собственных делителей (отличных от ) которого превышает .
Любое натуральное число относится к одному из трёх классов: избыточные числа, совершенные числа, недостаточные числа.
Первые избыточные числа[1]:
- 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, …
Число 48, например, является избыточным, поскольку 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 = 76, 76 > 48.
Наименьшим избыточным числом является 12. Наименьшим нечётным избыточным числом является 945.
Существует бесконечно много как чётных, так и нечётных избыточных чисел. Более того, почти каждое четвёртое натуральное число является избыточным. Более точно, произвольно взятое натуральное число является избыточным с вероятностью (см. асимптотическая плотность), лежащей между 0,2474 и 0,2480.
Индексом избыточности называется величина , где — сумма делителей числа (для совершенных чисел ).
Существуют числа со сколь угодно большим индексом избыточности. Последовательность минимальных чисел , таких что [2].
Шнирельман доказал, что любое натуральное число, большее 28 123, может быть представлено в виде суммы двух избыточных чисел.
Специальные классы избыточных чисел — сверхизбыточные числа[англ.], слегка избыточные числа (их существование — открытая проблема).
Примечания
правитьЛитература
править- D. Iannucci. On the smallest abundant number not divisible by the first k primes // Bulletin of the Belgian Mathematical Society[англ.]. — 2005. — Т. 12, вып. 1. — С. 39–44. — doi:10.36045/bbms/1113318127.