Фу́нкция Гри́на — функция, используемая для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородной краевой задачи ).
Названа в честь английского математика Джорджа Грина , который первым развил соответствующую теорию в 1830-е годы.
Интуитивная анимация, показывающая, как функции Грина, решающие дифференциальное уравнение с точечным источником, могут быть наложены друг на друга для решения его с произвольным источником. Функции Грина полезны в электростатике — для решения уравнения Пуассона ; в теории конденсированных сред — они позволяют решить уравнение диффузии (и совпадающее с ним уравнение теплопроводности); в квантовой механике — функция Грина гамильтониана является одной из ключевых функций и связана с плотностью состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку уравнения диффузии и уравнение Шрёдингера в некотором смысле подобны.
Все области математической и теоретической физики , где крайне полезны функции Грина, пожалуй, трудно даже перечислить.
Они помогают находить стационарные и нестационарные решения, в том числе при разнообразных граничных условиях.
В физике элементарных частиц и статистической физике функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» часто применяется вообще к корреляционной функции в квантовой теории поля ). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография , расчёты электронных спектров металлических материалов).
править
Функция Грина
G
(
x
,
s
)
{\displaystyle G(x,s)}
линейного дифференциального оператора
L
=
L
(
x
)
{\displaystyle L=L(x)}
обобщённых функциях на подмножестве евклидового пространства
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
s
{\displaystyle s}
L
G
(
x
,
s
)
=
δ
(
x
−
s
)
{\displaystyle L~G(x,s)=\delta (x-s)}
где
δ
{\displaystyle \ \delta }
дельта-функция Дирака . Это свойство функции Грина может использоваться для решения дифференциального уравнения вида
L
u
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle L~u(x)=f(x)}
Функция Грина — это обратный оператор к
L
{\displaystyle L}
L
−
1
{\displaystyle L^{-1}}
Если ядро оператора
L
{\displaystyle L}
обобщённая функция , то есть она может выпадать из класса обычных функций, например, иметь особенности вида дельта-функции или её производных.
Функция Грина — это также полезный инструмент для решения волнового уравнения, уравнения диффузии и квантовомеханических уравнений, где функция Грина оператора Гамильтона играет важнейшую роль и связана с плотностью состояний . В физике функция Грина обычно определяется с противоположным знаком:
L
G
(
x
,
s
)
=
−
δ
(
x
−
s
)
{\displaystyle L~G(x,s)=-\delta (x-s)}
что не меняет существенно её свойства.
Если оператор трансляционно инвариантен , то есть если
L
{\displaystyle L}
постоянные коэффициенты по отношению к
x
{\displaystyle x}
конволюционного оператора
G
(
x
,
s
)
=
G
(
x
−
s
)
{\displaystyle G(x,s)=G(x-s)}
В таком случае она совпадает с импульсной переходной функцией из теории линейных стационарных систем .
Иногда, когда неоднородное уравнение содержит в правой части постоянный коэффициент, то есть имеет вид
L
f
=
κ
h
{\displaystyle Lf=\kappa h}
g
(
x
,
s
)
{\displaystyle g(x,s)}
L
f
1
(
x
)
=
κ
δ
(
x
−
s
)
{\displaystyle Lf_{1}(x)=\kappa \,\delta (x-s)}
В этом случае решение исходного неоднородного уравнения
L
f
=
κ
h
{\displaystyle Lf=\kappa h}
h
{\displaystyle h}
f
(
x
)
=
∫
κ
h
(
s
)
g
(
x
,
s
)
d
s
{\displaystyle f(x)=\int {\kappa \,h(s)\,g(x,s)\,ds}}
править
Пусть
L
{\displaystyle L}
оператор Штурма — Лиувилля , линейный дифференциальный оператор вида:
L
=
d
d
x
[
p
(
x
)
d
d
x
]
−
q
(
x
)
{\displaystyle L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]-q(x)}
и пусть
D
{\displaystyle D}
D
u
=
(
α
1
u
′
(
0
)
+
β
1
u
(
0
)
α
2
u
′
(
l
)
+
β
2
u
(
l
)
.
)
{\displaystyle Du={\begin{pmatrix}\alpha _{1}u^{\prime }(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u^{\prime }(l)+\beta _{2}u(l).\end{pmatrix}}}
Пусть
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
непрерывная функция на промежутке
[
0
,
l
]
{\displaystyle [0,\;l]}
L
u
=
f
,
D
u
=
0
{\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f,\\Du=0\end{matrix}}}
регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.
Тогда существует единственное решение
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
L
u
=
f
,
D
u
=
0
,
{\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f,\\Du=0,\end{matrix}}}
которое задаётся выражением
u
(
x
)
=
∫
0
l
f
(
s
)
g
(
x
,
s
)
d
s
{\displaystyle u(x)=\int \limits _{0}^{l}f(s)g(x,\;s)\,ds}
где
g
(
x
,
s
)
{\displaystyle g(x,\;s)}
g
(
x
,
s
)
{\displaystyle g(x,\;s)}
x
{\displaystyle x}
s
{\displaystyle s}
Для
x
≠
s
{\displaystyle x\neq s}
L
g
(
x
,
s
)
=
0
{\displaystyle Lg(x,\;s)=0}
Для
s
≠
0
,
l
{\displaystyle s\neq 0,\;l}
D
g
(
x
,
s
)
=
0
{\displaystyle Dg(x,\;s)=0}
Скачок производной:
g
′
(
s
+
0
,
s
)
−
g
′
(
s
−
0
,
s
)
=
1
/
p
(
s
)
{\displaystyle g^{\prime }(s_{+0},\;s)-g^{\prime }(s_{-0},\;s)=1/p(s)}
Симметрична:
g
(
x
,
s
)
=
g
(
s
,
x
)
{\displaystyle g(x,\;s)=g(s,\;x)}
править
Если множество собственных векторов (собственных функций )
Ψ
n
{\displaystyle \Psi _{n}}
L
{\displaystyle L\ }
(то есть набор таких функций
Ψ
n
(
x
)
{\displaystyle \Psi _{n}(x)}
λ
n
≠
0
{\displaystyle \lambda _{n}\neq 0}
L
Ψ
n
=
λ
n
Ψ
n
{\displaystyle L\Psi _{n}=\lambda _{n}\Psi _{n}}
полно, то можно построить функцию Грина с помощью собственных векторов
Ψ
n
{\displaystyle \Psi _{n}}
λ
n
{\displaystyle \lambda _{n}}
Под полнотой системы функций
Ψ
n
(
x
)
{\displaystyle \Psi _{n}(x)}
δ
(
x
−
x
′
)
=
∑
n
=
0
∞
Ψ
n
(
x
)
Ψ
¯
n
(
x
′
)
{\displaystyle \delta (x-x^{\prime })=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}(x){\overline {\Psi }}_{n}(x^{\prime })}
Можно показать, что
G
(
x
,
x
′
)
=
∑
n
=
0
∞
Ψ
n
(
x
)
Ψ
¯
n
(
x
′
)
λ
n
{\displaystyle G(x,\;x^{\prime })=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Psi _{n}(x){\overline {\Psi }}_{n}(x^{\prime })}{\lambda _{n}}}}
Действительно, подействовав оператором
L
{\displaystyle L}
(Чертой сверху,
Ψ
¯
{\displaystyle {\overline {\Psi }}}
комплексное сопряжение ; если
Ψ
n
{\displaystyle \Psi _{n}}
вещественные функции , его можно не делать).
править
Уравнение теплопроводности , уравнение Шрёдингера и уравнения диффузии можно представить в виде уравнения в частных производных :
H
ψ
(
x
,
β
)
=
−
∂
ψ
(
x
,
β
)
∂
β
{\displaystyle H\psi (x,\beta )=-{\frac {\partial \psi (x,\beta )}{\partial \beta }}}
(1)
где
H
{\displaystyle H}
эрмитов оператор ,
x
=
f
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
g
{\displaystyle x={\mathcal {f}}x_{1},x_{2},...,x_{n}{\mathcal {g}}}
для уравнения теплопроводности
Δ
T
=
c
k
∂
T
∂
t
{\displaystyle \Delta T={\frac {c}{k}}{\frac {\partial T}{\partial t}}}
T
{\displaystyle T}
β
=
k
c
t
{\displaystyle \beta ={\frac {k}{c}}t}
для уравнения Шрёдингера
H
ψ
=
−
ℏ
i
∂
ψ
∂
t
{\displaystyle H\psi =-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}
ψ
{\displaystyle \psi }
волновая функция ,
β
=
ℏ
i
2
m
t
{\displaystyle \beta ={\frac {\hbar i}{2m}}t}
для уравнения диффузии
∇
2
ψ
=
1
λ
∂
ψ
∂
t
{\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {1}{\lambda }}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}
ψ
{\displaystyle \psi }
β
=
λ
t
{\displaystyle \beta =\lambda t}
Собственные функции
φ
m
{\displaystyle \varphi _{m}}
H
{\displaystyle H}
H
φ
m
=
λ
m
φ
m
{\displaystyle H\varphi _{m}=\lambda _{m}\varphi _{m}}
Предположим, что решение уравнения (1) можно представить в виде:
ψ
(
x
,
β
)
=
∑
m
=
0
∞
A
m
(
β
)
φ
m
(
x
)
{\displaystyle \psi (x,\beta )=\sum _{m=0}^{\infty }A_{m}(\beta )\varphi _{m}(x)}
(2)
Подставляя в уравнение (1) предполагаемую форму решения, получаем:
H
ψ
=
∑
m
=
0
∞
A
m
(
β
)
H
φ
m
(
x
)
=
−
∑
m
=
0
∞
φ
m
(
x
)
∂
∂
β
A
m
(
β
)
{\displaystyle H\psi =\sum _{m=0}^{\infty }A_{m}(\beta )H\varphi _{m}(x)=-\sum _{m=0}^{\infty }\varphi _{m}(x){\frac {\partial }{\partial \beta }}A_{m}(\beta )}
Таким образом:
∑
m
=
0
∞
[
λ
m
A
m
(
β
)
+
∂
∂
β
A
m
(
β
)
]
φ
m
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }[\lambda _{m}A_{m}(\beta )+{\frac {\partial }{\partial \beta }}A_{m}(\beta )]\varphi _{m}(x)=0}
Это уравнение должно выполняться для всех m. Получаем уравнение:
−
λ
m
A
m
(
β
)
=
∂
A
m
(
β
)
∂
β
{\displaystyle -\lambda _{m}A_{m}(\beta )={\frac {\partial A_{m}(\beta )}{\partial \beta }}}
откуда
A
m
(
β
)
=
A
m
(
0
)
e
−
λ
m
β
{\displaystyle A_{m}(\beta )=A_{m}(0)e^{-\lambda _{m}\beta }}
Следовательно, решение исходного уравнения (1) можно представить в виде:
ψ
(
x
,
β
)
=
∑
m
=
0
∞
A
m
(
0
)
e
−
λ
m
β
φ
m
(
x
)
{\displaystyle \psi (x,\beta )=\sum _{m=0}^{\infty }A_{m}(0)e^{-\lambda _{m}\beta }\varphi _{m}(x)}
Считая ряд (2) равномерно сходящимся, можно найти, что:
A
m
(
β
)
=
∫
φ
m
∗
(
x
)
ψ
(
x
,
β
)
d
τ
{\displaystyle A_{m}(\beta )=\int \varphi _{m}^{*}(x)\psi (x,\beta )d\tau }
где
d
τ
=
d
x
1
d
x
2
.
.
.
d
x
n
{\displaystyle d\tau =dx_{1}dx_{2}...dx_{n}}
Из этой формулы следует:
A
m
(
0
)
=
∫
φ
m
∗
(
x
)
ψ
(
x
,
0
)
d
τ
{\displaystyle A_{m}(0)=\int \varphi _{m}^{*}(x)\psi (x,0)d\tau }
Итак, если задано начальное состояние, то
ψ
(
x
,
β
)
=
∑
m
=
0
∞
∫
ψ
(
x
′
,
0
)
φ
m
∗
(
x
′
)
φ
m
(
x
)
e
−
λ
m
β
d
τ
′
{\displaystyle \psi (x,\beta )=\sum _{m=0}^{\infty }\int \psi (x',0)\varphi _{m}^{*}(x')\varphi _{m}(x)e^{-\lambda _{m}\beta }d\tau '}
Это уравнение можно представить в более удобной форме:
ψ
(
x
,
β
)
=
∫
⟨
x
|
G
(
β
)
|
x
′
⟩
ψ
(
x
′
,
0
)
d
τ
′
{\displaystyle \psi (x,\beta )=\int \langle x|G(\beta )|x'\rangle \psi (x',0)d\tau '}
где:
⟨
x
|
G
(
β
)
|
x
′
⟩
=
∑
m
=
0
∞
φ
m
∗
(
x
′
)
φ
m
(
x
)
e
−
λ
m
β
{\displaystyle \langle x|G(\beta )|x'\rangle =\sum _{m=0}^{\infty }\varphi _{m}^{*}(x')\varphi _{m}(x)e^{-\lambda _{m}\beta }}
Это выражение называется функцией Грина для уравнения (1).
править
Функция Грина для лапласиана может быть получена из теоремы Грина .
Для получения теоремы Грина начнём с закона Гаусса :
∫
V
∇
⋅
A
^
d
V
=
∫
S
A
^
⋅
d
σ
^
{\displaystyle \int \limits _{V}\nabla \cdot {\hat {A}}\ dV=\int \limits _{S}{\hat {A}}\cdot d{\hat {\sigma }}}
Примем
A
=
φ
∇
ψ
−
ψ
∇
φ
{\displaystyle A=\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi }
∇
⋅
A
^
{\displaystyle \nabla \cdot {\hat {A}}}
цепное правило для оператора
∇
{\displaystyle \nabla }
∇
⋅
A
^
=
∇
⋅
(
φ
∇
ψ
−
ψ
∇
φ
)
=
{\displaystyle \nabla \cdot {\hat {A}}=\nabla \cdot (\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi )=}
=
(
∇
φ
)
⋅
(
∇
ψ
)
+
φ
∇
2
ψ
−
(
∇
φ
)
⋅
(
∇
ψ
)
−
ψ
∇
2
φ
=
φ
∇
2
ψ
−
ψ
∇
2
φ
{\displaystyle =(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )+\varphi \nabla ^{2}\psi -(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )-\psi \nabla ^{2}\varphi =\varphi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\varphi }
Подставляя результат в теорему Гаусса, мы получаем теорему Грина:
∫
V
(
φ
∇
2
ψ
−
ψ
∇
2
φ
)
d
V
=
∫
S
(
φ
∇
ψ
−
ψ
∇
φ
)
⋅
d
σ
^
{\displaystyle \int \limits _{V}(\varphi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\varphi )\ dV=\int \limits _{S}(\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi )\cdot d{\hat {\sigma }}}
Предполагая, что наш линейный дифференциальный оператор
L
{\displaystyle L}
Лапласиан ,
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
G
{\displaystyle G}
L
G
(
x
,
x
′
)
=
∇
2
G
(
x
,
x
′
)
=
δ
(
x
−
x
′
)
{\displaystyle LG(x,\;x^{\prime })=\nabla ^{2}G(x,\;x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime })}
Положим
ψ
=
G
{\displaystyle \psi =G}
∫
V
(
φ
(
x
′
)
δ
(
x
−
x
′
)
−
G
(
x
,
x
′
)
∇
2
φ
(
x
′
)
)
d
3
x
′
=
{\displaystyle \int \limits _{V}(\varphi (x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })-G(x,\;x^{\prime })\nabla ^{2}\varphi (x^{\prime }))\ d^{3}x^{\prime }=}
=
∫
S
(
φ
(
x
′
)
∇
′
G
(
x
,
x
′
)
−
G
(
x
,
x
′
)
∇
′
φ
(
x
′
)
)
⋅
d
σ
^
′
{\displaystyle =\int \limits _{S}(\varphi (x^{\prime })\nabla ^{\prime }G(x,\;x^{\prime })-G(x,\;x^{\prime })\nabla ^{\prime }\varphi (x^{\prime }))\cdot d{\hat {\sigma }}^{\prime }}
Используя выражение, мы можем решить уравнение Лапласа (
∇
2
φ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi (x)=0}
∇
2
φ
(
x
)
=
−
4
π
ρ
(
x
)
{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi (x)=-4\pi \rho (x)}
φ
(
x
)
{\displaystyle \varphi (x)}
φ
(
x
)
{\displaystyle \varphi (x)}
граничные условия Дирихле ), или (2) нормальная производная
φ
(
x
)
{\displaystyle \varphi (x)}
Пусть нас интересует решение
φ
(
x
)
{\displaystyle \varphi (x)}
∫
V
φ
(
x
′
)
δ
(
x
−
x
′
)
d
3
x
′
{\displaystyle \int \limits _{V}\varphi (x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })\ d^{3}x^{\prime }}
φ
(
x
)
{\displaystyle \varphi (x)}
дельта-функции , и мы имеем:
φ
(
x
)
=
∫
V
G
(
x
,
x
′
)
ρ
(
x
′
)
d
3
x
′
+
∫
S
(
φ
(
x
′
)
∇
′
G
(
x
,
x
′
)
−
G
(
x
,
x
′
)
∇
′
φ
(
x
′
)
)
⋅
d
σ
^
′
{\displaystyle \varphi (x)=\int \limits _{V}G(x,\;x^{\prime })\rho (x^{\prime })\ d^{3}x^{\prime }+\int \limits _{S}(\varphi (x^{\prime })\nabla ^{\prime }G(x,\;x^{\prime })-G(x,\;x^{\prime })\nabla ^{\prime }\varphi (x^{\prime }))\cdot d{\hat {\sigma }}^{\prime }}
Эта формула выражает известное свойство гармонических функций , состоящее в том, что если известно значение нормальной производной на границе области, то известны и все значения функции в любой внутренней точке этой области.
В электростатике
φ
(
x
)
{\displaystyle \varphi (x)}
электростатический потенциал ,
ρ
(
x
)
{\displaystyle \rho (x)}
плотность электрического заряда , а нормальная производная
∇
φ
(
x
′
)
⋅
d
σ
^
′
{\displaystyle \nabla \varphi (x^{\prime })\cdot d{\hat {\sigma }}^{\prime }}
При решении краевой задачи Дирихле функция Грина выбирается в виде
G
(
x
,
x
′
)
{\displaystyle G(x,\;x^{\prime })}
x
{\displaystyle x}
x
′
{\displaystyle x^{\prime }}
При отсутствии граничных условий функция Грина для лапласиана имеет вид:
G
(
x
^
,
x
^
′
)
=
1
|
x
^
−
x
^
′
|
{\displaystyle G({\hat {x}},\;{\hat {x}}^{\prime })={\frac {1}{\left|{\hat {x}}-{\hat {x}}^{\prime }\right|}}}
Считая граничную поверхность бесконечно большой и подставляя в это выражение функцию Грина, мы придём к аналогичному выражению для электрического потенциала через электрическую плотность заряда .
φ
(
x
)
=
∫
V
ρ
(
x
′
)
|
x
^
−
x
^
′
|
d
3
x
′
{\displaystyle \varphi (x)=\int \limits _{V}{\frac {\rho (x^{\prime })}{\left|{\hat {x}}-{\hat {x}}^{\prime }\right|}}\ d^{3}x^{\prime }}
(Этот пример служит иллюстрацией к параграфу Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай) , причём описанные здесь соображения иллюстрируют пункты теоремы из соответствующего параграфа, ссылки на пункты которой присутствуют в тексте ниже).
Дана задача
L
u
=
u
′
′
+
u
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}Lu\end{matrix}}=u^{\prime \prime }+u=f(x)}
u
(
0
)
=
0
,
u
(
π
2
)
=
0
{\displaystyle u(0)=0,\quad u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0}
Найти функцию Грина.
Первый шаг:
Функция Грина
g
(
x
,
s
)
{\displaystyle g(x,s)}
g
′
′
+
g
=
δ
(
x
−
s
)
{\displaystyle g^{\prime \prime }+g=\delta (x-s)}
(3)
где двумя штрихами обозначена вторая производная по
x
{\displaystyle x}
Для
x
≠
s
{\displaystyle x\neq s}
δ
{\displaystyle \delta }
g
′
′
+
g
=
0
{\displaystyle g^{\prime \prime }+g=0}
то есть для всех точек, кроме
s
{\displaystyle s}
Общее решение такого уравнения
g
=
A
cos
x
+
B
sin
x
{\displaystyle g=A\cos x+B\sin x}
где
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
x
{\displaystyle x}
Таким образом,
g
(
x
,
s
)
{\displaystyle g(x,s)}
s
{\displaystyle s}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Наложим на функцию Грина граничные условия, совпадающие с граничными условиями исходной задачи (пункт 3 упомянутой во вводном замечании теоремы). Функция Грина с наложенными так граничными условиями удобна тем, что конструируемые суммированием или интегрированием таких функций Грина решения автоматически будут удовлетворять этим граничным условиям.
Из левого граничного условия:
u
(
0
)
=
0
{\displaystyle u(0)=0}
x
<
s
{\displaystyle x<s}
A
{\displaystyle A}
x
<
s
{\displaystyle x<s}
g
(
x
,
s
)
=
B
⋅
sin
x
{\displaystyle g(x,\;s)=B\cdot \sin x}
Точно так же из правого граничного условия:
u
(
π
2
)
=
0
{\displaystyle u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0}
B
{\displaystyle B}
x
>
s
{\displaystyle x>s}
g
(
x
,
s
)
=
A
⋅
cos
x
{\displaystyle g(x,\;s)=A\cdot \cos x}
В итоге, учитывая, что коэффициенты
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
s
{\displaystyle s}
g
(
x
,
s
)
=
{
B
(
s
)
sin
x
,
x
<
s
A
(
s
)
cos
x
,
s
<
x
{\displaystyle g(x,\;s)=\left\{{\begin{matrix}B(s)\sin x,\;\;x<s\\A(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.}
Второй шаг:
Нужно определить
A
(
s
)
{\displaystyle A(s)}
B
(
s
)
{\displaystyle B(s)}
Проинтегрировав дважды левую и правую часть уравнения (3) с дельта-функцией в правой части, мы увидим, что функция Грина должна быть непрерывна (пункт 1 упомянутой теоремы), а отсюда условие сшивки решения
x
<
s
{\displaystyle x<s}
x
>
s
{\displaystyle x>s}
B
(
s
)
sin
s
=
A
(
s
)
cos
s
{\displaystyle B(s)\sin s=A(s)\cos s}
Проинтегрировав же левую и правую часть того же уравнения от
x
=
s
−
ε
{\displaystyle x=s-\varepsilon }
x
=
s
+
ε
{\displaystyle x=s+\varepsilon }
g
′
(
s
+
0
,
s
)
−
g
′
(
s
−
0
,
s
)
=
−
A
(
s
)
⋅
sin
s
−
B
(
s
)
⋅
cos
s
=
1
{\displaystyle g'(s_{+0},s)-g'(s_{-0},s)=-A(s)\cdot \sin s-B(s)\cdot \cos s=1}
Используя правило Крамера или просто угадывая решение системы из двух этих уравнений, получим, что
A
(
s
)
=
−
sin
s
;
B
(
s
)
=
−
cos
s
{\displaystyle A(s)=-\sin s;\quad B(s)=-\cos s}
Эти выражения удовлетворяют условию пункта 5 теоремы.
Тогда функция Грина задачи:
g
(
x
,
s
)
=
{
−
1
⋅
cos
s
⋅
sin
x
,
x
<
s
−
1
⋅
sin
s
⋅
cos
x
,
s
<
x
{\displaystyle g(x,\;s)=\left\{{\begin{matrix}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,\;\;x<s\\-1\cdot \sin s\cdot \cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.}
что можно записать как
g
(
x
,
s
)
=
1
2
(
sin
|
x
−
s
|
−
sin
(
x
+
s
)
)
.
{\displaystyle g(x,\;s)={\frac {1}{2}}\left(\sin \left|x-s\right|-\sin(x+s)\right).}
В данной таблице представлены функции Грина для часто встречающихся дифференциальных операторов, где
r
=
x
2
+
y
2
+
z
2
{\displaystyle \textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
ρ
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle \textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
Θ
(
t
)
{\displaystyle \textstyle \Theta (t)}
функция Хевисайда ,
J
ν
(
z
)
{\displaystyle \textstyle J_{\nu }(z)}
функция Бесселя ,
I
ν
(
z
)
{\displaystyle \textstyle I_{\nu }(z)}
модифицированная функция Бесселя первого рода и
K
ν
(
z
)
{\displaystyle \textstyle K_{\nu }(z)}
модифицированная функция Бесселя второго рода .[ 2] t
G
A
{\displaystyle G^{A}}
Дифференциальный оператор L
Функция Грина G
Пример применения
∂
t
n
+
1
{\displaystyle \partial _{t}^{n+1}}
t
n
n
!
Θ
(
t
)
{\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)}
∂
t
+
γ
{\displaystyle \partial _{t}+\gamma }
Θ
(
t
)
e
−
γ
t
{\displaystyle \Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t}}
(
∂
t
+
γ
)
2
{\displaystyle \left(\partial _{t}+\gamma \right)^{2}}
Θ
(
t
)
t
e
−
γ
t
{\displaystyle \Theta (t)t\mathrm {e} ^{-\gamma t}}
∂
t
2
+
2
γ
∂
t
+
ω
0
2
{\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}
Θ
(
t
)
e
−
γ
t
sin
(
ω
t
)
ω
{\displaystyle \Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t}~{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}}
ω
=
ω
0
2
−
γ
2
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}
Гармонический осциллятор
Δ
2D
=
∂
x
2
+
∂
y
2
{\displaystyle \Delta _{\text{2D}}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}}
1
2
π
ln
ρ
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\ln \rho }
ρ
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
Уравнение Пуассона
Δ
3D
=
∂
x
2
+
∂
y
2
+
∂
z
2
{\displaystyle \Delta _{\text{3D}}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}}
−
1
4
π
r
{\displaystyle {\frac {-1}{4\pi r}}}
r
=
x
2
+
y
2
+
z
2
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
Уравнение Пуассона
Δ
3D
+
k
2
{\displaystyle \Delta _{\text{3D}}+k^{2}}
−
e
−
i
k
r
4
π
r
=
i
k
32
π
r
{\displaystyle {\frac {-\mathrm {e} ^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}}
H
1
/
2
(
2
)
(
k
r
)
{\displaystyle H_{1/2}^{(2)}(kr)}
=
i
k
4
π
{\displaystyle =i{\frac {k}{4\pi }}\,}
h
0
(
2
)
(
k
r
)
{\displaystyle h_{0}^{(2)}(kr)}
стационарное 3D уравнение Шрёдингера для свободной частицы
Δ
−
k
2
{\displaystyle \Delta -k^{2}}
n
{\displaystyle n}
−
(
2
π
)
−
n
/
2
(
k
r
)
n
/
2
−
1
K
n
/
2
−
1
(
k
r
)
{\displaystyle -(2\pi )^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr)}
Потенциал Юкавы , Пропагатор
∂
t
2
−
c
2
∂
x
2
{\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\partial _{x}^{2}}
1
2
c
Θ
(
t
−
|
x
/
c
|
)
{\displaystyle {\frac {1}{2c}}\Theta (t-|x/c|)}
1D волновое уравнение
∂
t
2
−
c
2
Δ
2D
{\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\Delta _{\text{2D}}}
1
2
π
c
c
2
t
2
−
ρ
2
Θ
(
t
−
ρ
/
c
)
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}}\Theta (t-\rho /c)}
2D волновое уравнение
◻
=
1
c
2
∂
t
2
−
Δ
3D
{\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{\text{3D}}}
δ
(
t
−
r
c
)
4
π
r
{\displaystyle {\frac {\delta (t-{\frac {r}{c}})}{4\pi r}}}
3D волновое уравнение
∂
t
−
k
∂
x
2
{\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2}}
Θ
(
t
)
(
1
4
π
k
t
)
1
/
2
e
−
x
2
/
4
k
t
{\displaystyle \Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{1/2}\mathrm {e} ^{-x^{2}/4kt}}
1D уравнение диффузии
∂
t
−
k
Δ
2D
{\displaystyle \partial _{t}-k\Delta _{\text{2D}}}
Θ
(
t
)
(
1
4
π
k
t
)
e
−
ρ
2
/
4
k
t
{\displaystyle \Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)\mathrm {e} ^{-\rho ^{2}/4kt}}
2D уравнение диффузии
∂
t
−
k
Δ
3D
{\displaystyle \partial _{t}-k\Delta _{\text{3D}}}
Θ
(
t
)
(
1
4
π
k
t
)
3
/
2
e
−
r
2
/
4
k
t
{\displaystyle \Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{3/2}\mathrm {e} ^{-r^{2}/4kt}}
3D уравнение диффузии
1
c
2
∂
t
2
−
∂
x
2
+
μ
2
{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2}+\mu ^{2}}
1
2
[
(
1
−
sin
μ
c
t
)
(
δ
(
c
t
−
x
)
+
δ
(
c
t
+
x
)
)
+
μ
Θ
(
c
t
−
|
x
|
)
J
0
(
μ
u
)
]
,
u
=
c
2
t
2
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[\left(1-\sin {\mu ct}\right)(\delta (ct-x)+\delta (ct+x))+\mu \Theta (ct-|x|)J_{0}\left(\mu u\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}
1D уравнение Клейна — Гордона
1
c
2
∂
t
2
−
Δ
2D
+
μ
2
{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{\text{2D}}+\mu ^{2}}
1
4
π
[
(
1
+
cos
(
μ
c
t
)
)
δ
(
c
t
−
ρ
)
ρ
+
μ
2
Θ
(
c
t
−
ρ
)
sinc
(
μ
u
)
]
,
u
=
c
2
t
2
−
ρ
2
{\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left[(1+\cos {(\mu ct)}){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\mu ^{2}\Theta (ct-\rho )\operatorname {sinc} {(\mu u)}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}
2D уравнение Клейна — Гордона
◻
+
μ
2
{\displaystyle \square +\mu ^{2}}
1
4
π
[
δ
(
t
−
r
c
)
r
+
μ
c
Θ
(
c
t
−
r
)
J
1
(
μ
u
)
u
]
,
u
=
c
2
t
2
−
r
2
{\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}{r}}+\mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}\left(\mu u\right)}{u}}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}
3D уравнение Клейна — Гордона
∂
t
2
+
2
γ
∂
t
−
c
2
∂
x
2
{\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\partial _{x}^{2}}
1
2
e
−
γ
t
[
δ
(
c
t
−
x
)
+
δ
(
c
t
+
x
)
+
Θ
(
c
t
−
|
x
|
)
(
γ
c
I
0
(
γ
u
c
)
+
γ
t
u
I
1
(
γ
u
c
)
)
]
,
u
=
c
2
t
2
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)+\Theta (ct-|x|)\left({\frac {\gamma }{c}}I_{0}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {\gamma t}{u}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}
телеграфное уравнение
∂
t
2
+
2
γ
∂
t
−
c
2
Δ
2D
{\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\Delta _{\text{2D}}}
e
−
γ
t
4
π
[
(
1
+
e
−
γ
t
+
3
γ
t
)
δ
(
c
t
−
ρ
)
ρ
+
Θ
(
c
t
−
ρ
)
(
γ
sinh
(
γ
u
c
)
c
u
+
3
γ
t
cosh
(
γ
u
c
)
u
2
−
3
c
t
sinh
(
γ
u
c
)
u
3
)
]
,
u
=
c
2
t
2
−
ρ
2
{\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi }}\left[(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\Theta (ct-\rho )\left({\frac {\gamma \sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{cu}}+{\frac {3\gamma t\cosh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{2}}}-{\frac {3ct\sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{3}}}\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}
2D релятивистское уравнение теплопроводности
∂
t
2
+
2
γ
∂
t
−
c
2
Δ
3D
{\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\Delta _{\text{3D}}}
e
−
γ
t
20
π
[
(
8
−
3
e
−
γ
t
+
2
γ
t
+
4
γ
2
t
2
)
δ
(
c
t
−
r
)
r
2
+
γ
2
c
Θ
(
c
t
−
r
)
(
1
c
u
I
1
(
γ
u
c
)
+
4
t
u
2
I
2
(
γ
u
c
)
)
]
,
u
=
c
2
t
2
−
r
2
{\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi }}\left[\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2}t^{2}\right){\frac {\delta (ct-r)}{r^{2}}}+{\frac {\gamma ^{2}}{c}}\Theta (ct-r)\left({\frac {1}{cu}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {4t}{u^{2}}}I_{2}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}
3D релятивистское уравнение теплопроводности
Пусть дано множество
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
L
{\displaystyle \ L}
d
/
d
x
{\displaystyle \ d/dx}
функция Хевисайда
H
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle \ H(x-x_{0})}
L
{\displaystyle \ L}
x
0
{\displaystyle \ x_{0}}
Пусть многообразие задаётся первой четвертью плоскости
(
x
,
y
)
:
x
,
y
⩾
0
{\displaystyle {(x,\;y):\;x,\;y\geqslant 0}}
L
{\displaystyle \ L}
x
=
0
{\displaystyle \ x=0}
y
=
0
{\displaystyle \ y=0}
G
(
x
,
y
,
x
0
,
y
0
)
=
1
2
π
[
ln
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
−
ln
(
x
+
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
]
+
{\displaystyle G(x,\;y,\;x_{0},\;y_{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right]+}
+
1
2
π
[
ln
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
+
y
0
)
2
−
ln
(
x
+
x
0
)
2
+
(
y
+
y
0
)
2
]
.
{\displaystyle +{\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}\right].}
↑ Ли Цзун-дао ↑ Некоторые примеры взяты из книги Schulz, Hermann: Physik mit Bleistift. Frankfurt am Main: Deutsch, 2001. ISBN 3-8171-1661-6 (German)
Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field , Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9 . (5-я глава содержит очень понятное изложение использования функций Грина для решения краевых задач в электростатике.)
A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition) , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9 
![{\displaystyle L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]-q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/277df9b6852e7ec5ea60a0f096222343374bfd5f)
![{\displaystyle [0,\;l]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c63315edcce36487affaee28e67b0cef9ec30d)
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }[\lambda _{m}A_{m}(\beta )+{\frac {\partial }{\partial \beta }}A_{m}(\beta )]\varphi _{m}(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e553ad71ff797542bb9033f634ecf30f5d8ab99)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[\left(1-\sin {\mu ct}\right)(\delta (ct-x)+\delta (ct+x))+\mu \Theta (ct-|x|)J_{0}\left(\mu u\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a726715e1a1f8ce4cfec59c5e5230133d74fc91d)
![{\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left[(1+\cos {(\mu ct)}){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\mu ^{2}\Theta (ct-\rho )\operatorname {sinc} {(\mu u)}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f5068d3d7e67194f8edcbddd299e0226101a2d)
![{\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}{r}}+\mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}\left(\mu u\right)}{u}}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2659e2af051c1e001eb44acb590190bf2a9763e3)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)+\Theta (ct-|x|)\left({\frac {\gamma }{c}}I_{0}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {\gamma t}{u}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a292531df560b4684c7e906c9e97715fccfe71)
![{\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi }}\left[(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\Theta (ct-\rho )\left({\frac {\gamma \sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{cu}}+{\frac {3\gamma t\cosh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{2}}}-{\frac {3ct\sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{3}}}\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0db347b308007a4bf9c90459df8fec9adef910fa)
![{\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi }}\left[\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2}t^{2}\right){\frac {\delta (ct-r)}{r^{2}}}+{\frac {\gamma ^{2}}{c}}\Theta (ct-r)\left({\frac {1}{cu}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {4t}{u^{2}}}I_{2}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda6488586eb0a89d0747d5970cd13bd70d320b9)
![{\displaystyle G(x,\;y,\;x_{0},\;y_{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right]+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d454a5d8170d6c92452dfbedbc0408a9271f6c6)
![{\displaystyle +{\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1cfa92aa50a6d303596183acfed5c700ddd86c0)