Уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа — дифференциальное уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0$

и является частным случаем уравнения Гельмгольца.

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$

Также и в n-мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.

С помощью дифференциального оператора

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+...$

— (оператора Лапласа) — это уравнение записывается (для любой размерности) одинаково как $\Delta u=0$. В этом случае размерность пространства указывается явно (или подразумевается).

Уравнение Лапласа относится к эллиптическому виду. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими функциями. Неоднородное уравнение Лапласа называется уравнением Пуассона.

• Замечание: всё сказанное выше относится к декартовым координатам в плоском пространстве (какова бы ни была его размерность). При использовании других координат представление оператора Лапласа меняется, и, соответственно, меняется запись уравнения Лапласа (пример — см. ниже). Эти уравнения также называются уравнением Лапласа, однако для устранения неоднозначности терминологии при этом обычно явно добавляется указание системы координат (и, при желании полной ясности, размерности), например: "двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах".

Физический смысл уравнения Лапласа

$\Delta u=0$ — это уравнение Лапласа, или уравнение непрерывности, выражающее, что идеальный флюид, в котором нет завихрений, не разрушим. Это уравнение математически кодирует прописную истину: если флюид не сжимаем, из сколь угодно малого объема в момент времени должно выйти столько же жидкости, сколько ее содержится в нем.

Другие формы уравнения Лапласа

• В сферических координатах $\ (r,\theta ,\varphi )$ уравнение имеет вид

${1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0$

Особые точки $r=0,\theta =0,\theta =\pi$.

• В полярных координатах $(r,\varphi )$ уравнение имеет вид

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}=0$

Особая точка $r=0$.

• В цилиндрических координатах $(r,\varphi ,z)$ уравнение имеет вид

${1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0$

Особая точка $r=0$.

См. также оператор набла в различных системах координат.

Применение уравнения Лапласа

Уравнение Лапласа возникает во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики. Большое значение оператор Лапласа имеет в квантовой физике, в частности в уравнении Шрёдингера.

Решения уравнения Лапласа

Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, его решение сопряжено с трудностями. Особенно трудным бывает численное решение из-за нерегулярности функций и наличия особенностей.

Гильберт выполнил строгое решение этого уравнения в частных производных.

Общее решение

Одномерное пространство

В одномерном вещественном пространстве уравнение Лапласа, сводящееся к равенству нулю второй производной, имеет общим решением линейную функцию:

$f(x)=C_{1}x+C_{2}$

где $C_{1},C_{2}$ — произвольные постоянные.

Двумерное пространство

Уравнению Лапласа на двумерном пространстве удовлетворяют аналитические функции. Аналитические функции рассматриваются в теории функций комплексного переменного, и класс решений уравнения Лапласа можно свести к функции комплексного переменного.

Уравнение Лапласа для двух независимых переменных формулируется в следующем виде

$\varphi _{xx}+\varphi _{yy}=0.$

Аналитические функции

Если z = x + iy, и

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$

то условия Коши — Римана являются необходимыми и достаточными для того, чтобы функция f(z) была аналитической:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},~{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$

И вещественная и мнимая части аналитических функций удовлетворяют уравнению Лапласа. Продифференцировав условия Коши — Римана, получаем

$u_{yy}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}.$

А это не что иное, как уравнение Лапласа для функции u. Точно также показывается, что функция v удовлетворяет уравнению Лапласа.

Задача Дирихле

Задача Дирихле — краевые условия для уравнения Лапласа, когда искомая функция задана на ограниченной области и известны её значения на границе.

Задача Неймана

Задача Неймана — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной по нормали искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода.

Литература

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.
• Дж. Шарма, К. Сингх Уравнения в частных производных для инженеров.
• Публикация Леонарда Эйлера, в которой впервые выводится уравнение Лапласа для потенциала скорости при безвихревом течении идеальной жидкости
• Мадрид Касадо Карлос - Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики.