Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом . Функции он ставит в соответствие функцию
Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: , таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом [1], то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен.
Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной. В самом деле, если функция имеет в окрестности точки непрерывную вторую производную , то, как это следует из формулы Тейлора
при ,
при
вторая производная есть предел
Если, переходя к функции от переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки рассматривать её -мерную шаровую окрестность радиуса и разность между средним арифметическим
функции на границе такой окрестности с площадью границы и значением в центре этой окрестности , то в случае непрерывности вторых частных производных функции в окрестности точки значение лапласиана в этой точке есть предел
Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции , имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула
где — объём окрестности
Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.
Доказательство этих формул можно найти, например, в[2].
Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.
Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат
Пусть на гладком многообразии задана локальная система координат и — риманов метрический тензор на , то есть метрика имеет вид
.
Обозначим через элементы матрицы и
.
Дивергенция векторного поля , заданного координатами (и представляющего дифференциальный оператор первого порядка ) на многообразии X вычисляется по формуле
↑Стоит избегать обозначения для оператора Лапласа в виде квадрата оператора набла, поскольку из такой записи непонятно, скалярное или векторное произведение подразумевается под возведением в квадрат.
↑Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций. М. Наука. 1968 г. 208с.