Метод Крамера

Ме́тод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)^[1].

Описание метода

Для системы $n$ линейных уравнений с $n$ неизвестными (над произвольным полем)

{\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\\\end{cases}}

с определителем матрицы системы $\Delta$ , отличным от нуля, решение записывается в виде

x_{i}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&\ldots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n-1,1}&\ldots &a_{n-1,i-1}&b_{n-1}&a_{n-1,i+1}&\ldots &a_{n-1,n}\\a_{n1}&\ldots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\ldots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}

( $i$ -й столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots +c_{n}x_{n})\cdot \Delta =-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}&b_{2}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}&b_{n}\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&0\\\end{vmatrix}}

В такой форме метод Крамера справедлив без предположения, что $\Delta$ отличен от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы $b_{1},b_{2},...,b_{n}$ и $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ , либо набор $c_{1},c_{2},...,c_{n}$ состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Пример

Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами:

{\begin{cases}a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_{1}\\a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_{2}\\a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_{3}\\\end{cases}}

Определители:

{\textstyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{x}={\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ }

\Delta _{y}={\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{z}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&b_{3}\\\end{vmatrix}}

В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.

Решение:

x={\frac {\Delta _{x}}{\Delta }},\ \ y={\frac {\Delta _{y}}{\Delta }},\ \ z={\frac {\Delta _{z}}{\Delta }}

Пример:

{\begin{cases}2x+5y+4z=30\\x+3y+2z=150\\2x+10y+9z=110\\\end{cases}}

Определители:

\Delta ={\begin{vmatrix}2&5&4\\1&3&2\\2&10&9\\\end{vmatrix}}=5,\ \ \Delta _{x}={\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\110&10&9\\\end{vmatrix}}=-760,\ \

\Delta _{y}={\begin{vmatrix}2&30&4\\1&150&2\\2&110&9\\\end{vmatrix}}=1350,\ \ \Delta _{z}={\begin{vmatrix}2&5&30\\1&3&150\\2&10&110\\\end{vmatrix}}=-1270.

$x=-{\frac {760}{5}}=-152,\ \ y={\frac {1350}{5}}=270,\ \ z=-{\frac {1270}{5}}=-254$

Вычислительная сложность

Метод Крамера требует вычисления $n+1$ определителей порядка $n$ . При использовании метода Гаусса для вычисления определителей метод имеет сложность по элементарным операциям сложения-умножения порядка $O(n^{4})$ , что сложнее, чем метод Гаусса при прямом решении системы. Поэтому метод, с точки зрения затрат времени на вычисления, считался непрактичным. Однако в 2010 году было показано, что метод Крамера может быть реализован со сложностью $O(n^{3})$ , сравнимой со сложностью метода Гаусса^[2].

Применение

Решение систем 2×2 и 3×3

Любые методы, связанные с алгебраическими преобразованиями, чреваты делением на ноль — а метод Крамера без всяких ухищрений даст решение всегда, если оно существует.

Теоретические выкладки

Метод Крамера широко используется в различных выкладках:

Метод Лагранжа (дифференциальные уравнения)
Неявно заданные системы: при $F(x,y,u,v)=0$ и $G(x,y,u,v)=0$ считаем, что x и y — зависимые переменные, u и v — независимые. Тогда, например, ${\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\-{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}$ .

Литература

Мальцев И. А. Основы линейной алгебры. — Изд. 3-е, перераб., М.: «Наука», 1970. — 400 c.

Примечания

↑ Cramer, Gabriel. Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques (фр.) 656–659. Geneva: Europeana (1750). Дата обращения: 18 мая 2012.
↑ Ken Habgood and Itamar Arel. 2010. Revisiting Cramer's rule for solving dense linear systems. In Proceedings of the 2010 Spring Simulation Multiconference (SpringSim '10)

См. также

Метод Гаусса

[1] Cramer, Gabriel. Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques (фр.) 656–659. Geneva: Europeana (1750). Дата обращения: 18 мая 2012.

[2] Ken Habgood and Itamar Arel. 2010. Revisiting Cramer's rule for solving dense linear systems. In Proceedings of the 2010 Spring Simulation Multiconference (SpringSim '10)

[1]

[2]