Определителем Грама (грамианом ) системы векторов
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\mathbf {e} _{n}}
евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:
Определитель Грама Определяющая формула
Gram
(
A
)
=
det
(
A
T
A
)
{\displaystyle \operatorname {Gram} (A)=\det(A^{T}A)}
|
⟨
e
1
,
e
1
⟩
⟨
e
1
,
e
2
⟩
…
⟨
e
1
,
e
n
⟩
⟨
e
2
,
e
1
⟩
⟨
e
2
,
e
2
⟩
…
⟨
e
2
,
e
n
⟩
…
…
…
…
⟨
e
n
,
e
1
⟩
⟨
e
n
,
e
2
⟩
…
⟨
e
n
,
e
n
⟩
|
,
{\displaystyle {\begin{vmatrix}\langle e_{1},\;e_{1}\rangle &\langle e_{1},\;e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{1},\;e_{n}\rangle \\\langle e_{2},\;e_{1}\rangle &\langle e_{2},\;e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{2},\;e_{n}\rangle \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\langle e_{n},\;e_{1}\rangle &\langle e_{n},\;e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{n},\;e_{n}\rangle \\\end{vmatrix}},}
где
⟨
e
i
,
e
j
⟩
{\displaystyle \langle e_{i},\;e_{j}\rangle }
скалярное произведение векторов
e
i
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}}
e
j
{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}
Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры :
Пусть в евклидовом пространстве
V
{\displaystyle V}
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\mathbf {e} _{n}}
U
{\displaystyle U}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
U
{\displaystyle U}
x
{\displaystyle x}
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\mathbf {e} _{n}}
Исходя из разложения
x
=
x
1
e
1
+
x
2
e
2
+
…
+
x
n
e
n
,
{\displaystyle \mathbf {x} =x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +x_{n}\mathbf {e} _{n},}
получается линейная система уравнений с матрицей Грама:
{
⟨
e
1
,
e
1
⟩
x
1
+
⟨
e
1
,
e
2
⟩
x
2
+
…
+
⟨
e
1
,
e
n
⟩
x
n
=
⟨
e
1
,
x
⟩
;
⟨
e
2
,
e
1
⟩
x
1
+
⟨
e
2
,
e
2
⟩
x
2
+
…
+
⟨
e
2
,
e
n
⟩
x
n
=
⟨
e
2
,
x
⟩
;
…
…
…
…
…
…
…
…
…
⟨
e
n
,
e
1
⟩
x
1
+
⟨
e
n
,
e
2
⟩
x
2
+
…
+
⟨
e
n
,
e
n
⟩
x
n
=
⟨
e
n
,
x
⟩
.
{\displaystyle {\begin{cases}\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {x} \rangle ;\\\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {x} \rangle ;\\\quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \\\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {x} \rangle .\\\end{cases}}}
Эта задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда векторы
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\mathbf {e} _{n}}
линейно независимы . Поэтому обращение в ноль определителя Грама системы векторов — это критерий их линейной зависимости .
править
Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:
Пусть в евклидовом пространстве
V
{\displaystyle V}
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\mathbf {e} _{n}}
U
{\displaystyle U}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
V
{\displaystyle V}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
U
{\displaystyle U}
Минимум расстояний
|
x
−
u
|
{\displaystyle |\mathbf {x} -\mathbf {u} |}
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
U
{\displaystyle U}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
U
{\displaystyle U}
x
=
u
+
n
{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {u} +\mathbf {n} }
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
U
{\displaystyle U}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
U
{\displaystyle U}
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\mathbf {e} _{n}}
правилу Крамера :
u
=
−
1
Γ
|
⟨
e
1
,
e
1
⟩
⟨
e
1
,
e
2
⟩
…
⟨
e
1
,
e
n
⟩
⟨
e
1
,
x
⟩
⟨
e
2
,
e
1
⟩
⟨
e
2
,
e
2
⟩
…
⟨
e
2
,
e
n
⟩
⟨
e
2
,
x
⟩
…
…
…
…
…
⟨
e
n
,
e
1
⟩
⟨
e
n
,
e
2
⟩
…
⟨
e
n
,
e
n
⟩
⟨
e
n
,
x
⟩
e
1
e
2
…
e
n
0
|
,
{\displaystyle \mathbf {u} =-{\frac {1}{\Gamma }}{\begin{vmatrix}\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2}\rangle &\ldots &\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{n}\rangle &\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {x} \rangle \\\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{2}\rangle &\ldots &\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{n}\rangle &\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {x} \rangle \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{2}\rangle &\ldots &\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{n}\rangle &\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {x} \rangle \\\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\ldots &\mathbf {e} _{n}&\mathbf {0} \end{vmatrix}},}
где
Γ
{\displaystyle \Gamma }
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
n
=
x
−
u
=
1
Γ
|
⟨
e
1
,
e
1
⟩
⟨
e
1
,
e
2
⟩
…
⟨
e
1
,
e
n
⟩
⟨
e
1
,
x
⟩
⟨
e
2
,
e
1
⟩
⟨
e
2
,
e
2
⟩
…
⟨
e
2
,
e
n
⟩
⟨
e
2
,
x
⟩
…
…
…
…
…
⟨
e
n
,
e
1
⟩
⟨
e
n
,
e
2
⟩
…
⟨
e
n
,
e
n
⟩
⟨
e
n
,
x
⟩
e
1
e
2
…
e
n
x
|
{\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {x} -\mathbf {u} ={\frac {1}{\Gamma }}{\begin{vmatrix}\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2}\rangle &\ldots &\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{n}\rangle &\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {x} \rangle \\\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{2}\rangle &\ldots &\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{n}\rangle &\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {x} \rangle \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{2}\rangle &\ldots &\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{n}\rangle &\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {x} \rangle \\\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\ldots &\mathbf {e} _{n}&\mathbf {x} \end{vmatrix}}}
и квадрат его модуля равен
|
n
|
2
=
⟨
n
,
x
⟩
=
Γ
(
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
,
x
)
Γ
(
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
)
.
{\displaystyle |\mathbf {n} |^{2}=\langle \mathbf {n} ,\;\mathbf {x} \rangle ={\frac {\Gamma (\mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{n},\;\mathbf {x} )}{\Gamma (\mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{n})}}.}
Из этой формулы индукцией по
n
{\displaystyle n}
Определитель Грама системы
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
трёхмерного пространства определитель Грама трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения . 
