Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой,
f
:
U
(
x
0
)
→
V
(
y
0
)
,
{\displaystyle f:U(x_{0})\to V(y_{0}),}
y
0
=
f
(
x
0
)
,
{\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),}
g
:
V
(
y
0
)
→
R
{\displaystyle g:V(y_{0})\to \mathbb {R} }
f
∈
D
(
x
0
)
,
g
∈
D
(
y
0
)
.
{\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).}
h
=
g
∘
f
∈
D
(
x
0
)
,
{\displaystyle h=g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),}
h
′
(
x
0
)
=
g
′
(
f
(
x
0
)
)
⋅
f
′
(
x
0
)
.
{\displaystyle h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0}).}
В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции
y
=
y
(
x
)
,
{\displaystyle y=y(x),}
x
=
x
(
t
)
,
{\displaystyle x=x(t),}
d
y
d
t
=
d
y
d
x
⋅
d
x
d
t
.
{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.}
править
Дифференциал функции
z
=
g
(
y
)
{\displaystyle z=g(y)}
y
0
{\displaystyle y_{0}}
d
z
=
g
′
(
y
0
)
d
y
,
{\displaystyle dz=g'(y_{0})\,dy,}
где
d
y
{\displaystyle dy}
y
→
y
0
{\displaystyle y\to y_{0}}
d
y
(
h
)
=
h
,
h
∈
R
.
{\displaystyle dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R} .}
Пусть теперь
y
=
f
(
x
)
,
x
∈
U
(
x
0
)
,
f
∈
D
(
x
0
)
.
{\displaystyle y=f(x),\;x\in U(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D}}(x_{0}).}
d
y
=
f
′
(
x
0
)
d
x
{\displaystyle dy=f'(x_{0})\,dx}
d
z
=
g
′
(
f
(
x
0
)
)
⋅
f
′
(
x
0
)
d
x
=
g
′
(
y
0
)
d
y
.
{\displaystyle dz=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})\,dx=g'(y_{0})\,dy.}
Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.
Пусть
h
(
x
)
=
(
3
x
2
−
5
x
)
7
.
{\displaystyle h(x)={(3x^{2}-5x)}^{7}.\;}
h
{\displaystyle h\;}
h
=
g
∘
f
,
{\displaystyle h=g\circ f,}
f
(
x
)
=
3
x
2
−
5
x
,
{\displaystyle f(x)=3x^{2}-5x,\;}
g
(
y
)
=
y
7
.
{\displaystyle g(y)=y^{7}.\;}
Дифференцируя эти функции отдельно:
f
′
(
x
)
=
6
x
−
5
,
{\displaystyle f'(x)=6x-5,\;}
g
′
(
y
)
=
7
y
6
,
{\displaystyle g'(y)=7y^{6},\;}
получаем
h
′
(
x
)
=
7
(
3
x
2
−
5
x
)
6
⋅
(
6
x
−
5
)
.
{\displaystyle h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5).}
Пусть даны функции
f
:
U
(
x
0
)
⊂
R
m
→
V
(
y
0
)
⊂
R
n
,
{\displaystyle f:U(x_{0})\subset \mathbb {R} ^{m}\to V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n},}
y
0
=
f
(
x
0
)
,
{\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),}
g
:
V
(
y
0
)
⊂
R
n
→
R
p
.
{\displaystyle g:V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}.}
f
∈
D
(
x
0
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}
g
∈
D
(
y
0
)
.
{\displaystyle g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).}
d
h
(
x
0
)
=
d
g
(
y
0
)
∘
d
f
(
x
0
)
{\displaystyle dh(x_{0})=dg(y_{0})\circ df(x_{0})}
В частности, матрица Якоби функции
h
{\displaystyle h}
g
{\displaystyle g}
f
:
{\displaystyle f:}
∂
(
h
1
,
…
,
h
p
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
m
)
=
∂
(
h
1
,
…
,
h
p
)
∂
(
y
1
,
…
,
y
n
)
⋅
∂
(
y
1
,
…
,
y
n
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
m
)
.
{\displaystyle {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}={\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\cdot {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}.}
Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:
|
∂
(
h
1
,
…
,
h
n
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
n
)
|
=
|
∂
(
h
1
,
…
,
h
n
)
∂
(
y
1
,
…
,
y
n
)
|
⋅
|
∂
(
y
1
,
…
,
y
n
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
n
)
|
.
{\displaystyle \left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right\vert =\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\right\vert \cdot \left\vert {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right\vert .}
Для частных производных сложной функции справедливо
∂
h
(
x
0
)
∂
x
j
=
∑
i
=
1
n
∂
g
(
y
0
)
∂
y
i
∂
f
(
x
0
)
∂
x
j
,
j
=
1
,
…
m
.
{\displaystyle {\frac {\partial h(x_{0})}{\partial x_{j}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(y_{0})}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x_{j}}},\quad j=1,\ldots m.}
Пусть дана функция трёх переменных
h
(
x
,
y
,
z
)
=
sin
x
+
cos
2
(
x
+
y
+
z
)
−
2
x
2
+
5
y
3
{\displaystyle h(x,y,z)=\sin x+\cos ^{2}(x+y+z)-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}\;}
x
{\displaystyle x}
h
{\displaystyle h\;}
h
(
x
,
y
,
z
)
=
f
(
u
,
v
,
w
)
,
{\displaystyle h(x,y,z)=f(u,v,w),}
f
(
u
,
v
,
w
)
=
u
+
v
2
+
w
,
{\displaystyle f(u,v,w)=u+v^{2}+w,\;}
u
(
x
,
y
,
z
)
=
sin
x
,
{\displaystyle u(x,y,z)=\sin x,\;}
v
(
x
,
y
,
z
)
=
cos
(
x
+
y
+
z
)
,
{\displaystyle v(x,y,z)=\cos(x+y+z),\;}
w
(
x
,
y
,
z
)
=
−
2
x
2
+
5
y
3
.
{\displaystyle w(x,y,z)=-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}.\;}
Тогда частная производная функции
h
{\displaystyle h}
x
{\displaystyle x}
∂
h
∂
x
=
∂
f
∂
u
∂
u
∂
x
+
∂
f
∂
v
∂
v
∂
x
+
∂
f
∂
w
∂
w
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial w}}{\frac {\partial w}{\partial x}}}
Вычисляем производные:
∂
f
∂
u
=
1
,
∂
f
∂
v
=
2
v
,
∂
f
∂
w
=
1
,
∂
u
∂
x
=
cos
x
,
∂
v
∂
x
=
−
sin
(
x
+
y
+
z
)
,
∂
w
∂
x
=
−
2
x
2
x
2
+
5
y
3
.
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial u}}=1,\;{\frac {\partial f}{\partial v}}=2v,\;{\frac {\partial f}{\partial w}}=1,\;{\frac {\partial u}{\partial x}}=\cos x,\;{\frac {\partial v}{\partial x}}=-\sin(x+y+z),\;{\frac {\partial w}{\partial x}}=-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}.\;}
Подставляем найденные производные:
∂
h
∂
x
=
1
⋅
cos
x
+
2
⋅
(
cos
(
x
+
y
+
z
)
)
⋅
(
−
sin
(
x
+
y
+
z
)
)
+
1
⋅
(
−
2
x
2
x
2
+
5
y
3
)
{\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}=1\cdot \cos x\quad +\quad 2\cdot {\Bigl (}\cos(x+y+z){\Bigl )}\cdot {\Bigl (}-\sin(x+y+z){\Bigl )}\quad +\quad 1\cdot \left(-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}\right)}
В итоге
∂
h
∂
x
=
cos
x
−
sin
(
2
x
+
2
y
+
2
z
)
−
2
x
2
x
2
+
5
y
3
.
{\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}=\cos x-\sin(2x+2y+2z)-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}.}
