Уравнение Клейна — Гордона

Уравнение Клейна — Гордона (иногда Клейна — Гордона — Фока, Клейна — Фока^[1]^[2], Шрёдингера — Гордона^[3]) — релятивистская версия уравнения Шрёдингера:

\partial _{x}^{2}\psi +\partial _{y}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi -{1 \over c^{2}}\partial _{t}^{2}\psi -{m^{2}c^{2} \over \hbar ^{2}}\psi =0

,

или (с использованием единиц, где $\hbar =c=1$ , $\square \$ — оператор Д’Аламбера):

(\square \ -m^{2})\psi =0

.

Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (таких как поле Хиггса). Может быть обобщено для частиц с целым и полуцелым спинами^[4]. Кроме прочего, ясно, что уравнение является обобщением волнового уравнения, подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.

Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна — Гордона — Фока, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:

в одномерном случае — натянутая тяжёлая нить, лежащая (приклеенная) на упругой (гуковской) подкладке.
макроскопически изотропный кристалл, каждый атом которого находится, кроме связи с соседними атомами, ещё и в фиксированной в пространстве квадратичной потенциальной яме.
более реалистично, если говорить о реальных кристаллах, рассмотреть моды поперечных колебаний, при которых, например, соседние слои атомов колеблются в противофазе: такие моды (в линейном приближении) будут подчиняться двумерному уравнению Клейна — Гордона — Фока в координатах, лежащих в плоскости слоёв.

Уравнение, в котором последний («массовый») член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике тахион. Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.

Уравнение Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных плоских волн.

Положив пространственные производные нулю (что в квантовой механике соответствует нулевому импульсу частицы), мы имеем для обычного уравнения Клейна — Гордона — Фока гармонический осциллятор с частотой $\pm mc^{2}/\hbar$ , что соответствует ненулевой энергии покоя, определяемой массой $m$ частицы. Тахионный же вариант уравнения в этом случае неустойчив, а решение его включает в общем случае неограниченно возрастающую экспоненту.

История

Уравнение, названное именами Оскара Клейна и Вальтера Гордона, первоначально записал Эрвин Шрёдингер до записи нерелятивистского уравнения, которое носит сейчас его имя. Он отказался от него (не опубликовав), потому что не смог включить в это уравнение спин электрона. Шрёдингер сделал упрощение уравнения и нашёл «своё» уравнение.

В 1926 году, вскоре после публикации уравнения Шрёдингера, Фок^[5]^[6] написал статью о его обобщении на случай магнитных полей, где силы зависели от скорости, и независимо вывел это уравнение. И Клейн^[7] (его работа появилась несколько раньше, но вышла из печати уже после того, как статья Фока была принята в журнал), и Фок использовали метод Калуцы — Клейна. Фок также ввёл калибровочную теорию для волнового уравнения.

Статья Гордона (начало 1926) была посвящена эффекту Комптона^[8].

Вывод

(Здесь использованы единицы, где $\hbar =c=1$ ).

Уравнение Шрёдингера для свободной частицы записывается так:

{\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}\psi =i\partial _{t}\psi

,

где ${\hat {\mathbf {p} }}=-i\mathbf {\nabla }$ — оператор импульса; оператор же ${\hat {E}}=i\partial _{t}$ будем называть, в отличие от гамильтониана, просто оператором энергии.

Уравнение Шрёдингера не является релятивистски ковариантным, то есть не согласуется со специальной теорией относительности (СТО).

Используем релятивистское дисперсионное (связывающее энергию и импульс) соотношение (из СТО):

p^{2}+m^{2}=E^{2}

.

Тогда просто подставляя квантовомеханические оператор импульса и оператор энергии^[9], получаем:

((-i\mathbf {\nabla } )^{2}+m^{2})\psi =i^{2}\partial _{t}^{2}\psi

,

что в ковариантной форме запишется так:

(\square \ -m^{2})\psi =0

,

где $\square \ =\nabla ^{2}-\partial _{t}^{2}$ — оператор Д’Аламбера.

Решение уравнения Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы

Искать решение уравнения Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы

\mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi

можно, как и для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в виде суперпозиции (то есть любой, конечной или бесконечной линейной комбинации) плоских волн:

\psi (\mathbf {r} ,\;t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}

,

подставляя же каждую такую волну в уравнение, получаем условие на $\mathbf {k}$ и $\omega$ :

-k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}

.

Плоская волна, как легко заметить, описывает чистое состояние с определённой энергией и импульсом (то есть является собственной функцией соответствующих операторов). Энергия и импульс (то есть собственные значения этих операторов), исходя из этого, могут быть для неё просто посчитаны, как и в случае нерелятивистской частицы:

\langle \mathbf {p} \rangle =\langle \psi |{\hat {\mathbf {p} }}|\psi \rangle =\langle \psi |-i\hbar \mathbf {\nabla } |\psi \rangle =\hbar \mathbf {k}

,

\langle E\rangle =\langle \psi |{\hat {E}}|\psi \rangle =\langle \psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle =\hbar \omega

.

Найденное соотношение $k$ и $\omega$ тогда (снова) даёт уравнение связи между энергией и импульсом релятивистской частицы с ненулевой массой, известное из классики:

\langle E^{2}\rangle =m^{2}c^{4}+\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2}

.

Причём ясно, что соотношение для средних величин будет выполняться не только для состояний с определённой энергией и импульсом, но и для любой их суперпозиции, то есть для любого решения уравнения Клейна — Гордона — Фока (что, в частности, обеспечивает выполнение этого соотношения и в классическом пределе).

Для безмассовых частиц мы можем положить $m=0$ в последнем уравнении. Тогда получим для безмассовых частиц закон дисперсии (он же соотношение энергии и импульса) в виде:

\langle E^{2}\rangle =\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2}

.

Использовав формулу групповой скорости $\mathbf {v} _{gr}=\partial \omega /\partial \mathbf {k} \$ , нетрудно получить обычные релятивистские формулы связи импульса и энергии со скоростью; в принципе того же результата можно добиться, просто посчитав коммутатор гамильтониана с координатой; но в случае уравнения Клейна — Гордона — Фока мы сталкиваемся с трудностью выписать гамильтониан в явном виде^[10] (очевиден только квадрат гамильтониана).

Примечания

↑ Демков Ю. Н. Развитие теории электронно-атомных столкновений в Ленинградском университете Архивная копия от 17 мая 2014 на Wayback Machine.
↑ Фаддеев Л. Д. Новая жизнь полной интегрируемости // УФН. — 2013. — Том 183. — № 5. — C. 490.
↑ Г. Вентцель Введение в квантовую теорию волновых полей. — М., Л.: ОГИЗ, 1947. — С. 32
↑ см. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — § 4, 6.
↑ Vladimir Fock Архивная копия от 2 января 2015 на Wayback Machine // Zeitschrift für Physik 38 (1926) 242.
↑ Vladimir Fock // Zeitschrift für Physik 39 (1926) 226.
↑ Klein O. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie Архивная копия от 14 октября 2017 на Wayback Machine // Zeitschrift für Physik 37:895-906. — 1926.
↑ Gordon W. Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie Архивная копия от 10 июня 2017 на Wayback Machine (Эффект Комптона в теории Шредингера) // Zeitschrift für Physik. — v. 40. — iss. 1. — pp. 117—133 (1926). — DOI 10.1007/BF01390840.
↑ Можно было бы просто извлечь корень из оператора в скобках в левой части уравнения
$((-i\mathbf {\nabla } )^{2}+m^{2})\psi =i^{2}\partial _{t}^{2}\psi$ ,
то есть найти таким образом гамильтониан; тогда в правой части осталась бы первая производная по времени, и аналогия с уравнением Шрёдингера была бы ещё более непосредственной и прямой. Однако утверждается, что для случая скалярного (или векторного) поля $\psi$ невозможно проделать это так, чтобы получившийся гамильтониан был локальным. Для случая же биспинорного $\psi$ Дираку удалось получить таким образом локальный (и даже с производными лишь первого порядка) гамильтониан, получив этим самым так называемое уравнение Дирака (все решения которого в пространстве Минковского, кстати, являются и решениями уравнения Клейна — Гордона, но не обратно; а в искривлённом пространстве различие уравнений становится явным).
↑ см. примечание 2.

См. также

Ссылки

Линейное уравнение Клейна — Гордона на EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Нелинейное уравнение Клейна — Гордона на EqWorld: The World of Mathematical Equations.

[1] Демков Ю. Н. Развитие теории электронно-атомных столкновений в Ленинградском университете Архивная копия от 17 мая 2014 на Wayback Machine.

[2] Фаддеев Л. Д. Новая жизнь полной интегрируемости // УФН. — 2013. — Том 183. — № 5. — C. 490.

[3] Г. Вентцель Введение в квантовую теорию волновых полей. — М., Л.: ОГИЗ, 1947. — С. 32

[4] см. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — § 4, 6.

[5] Vladimir Fock Архивная копия от 2 января 2015 на Wayback Machine // Zeitschrift für Physik 38 (1926) 242.

[6] Vladimir Fock // Zeitschrift für Physik 39 (1926) 226.

[7] Klein O. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie Архивная копия от 14 октября 2017 на Wayback Machine // Zeitschrift für Physik 37:895-906. — 1926.

[8] Gordon W. Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie Архивная копия от 10 июня 2017 на Wayback Machine (Эффект Комптона в теории Шредингера) // Zeitschrift für Physik. — v. 40. — iss. 1. — pp. 117—133 (1926). — DOI 10.1007/BF01390840.

[9] Можно было бы просто извлечь корень из оператора в скобках в левой части уравнения
$((-i\mathbf {\nabla } )^{2}+m^{2})\psi =i^{2}\partial _{t}^{2}\psi$ ,
то есть найти таким образом гамильтониан; тогда в правой части осталась бы первая производная по времени, и аналогия с уравнением Шрёдингера была бы ещё более непосредственной и прямой. Однако утверждается, что для случая скалярного (или векторного) поля $\psi$ невозможно проделать это так, чтобы получившийся гамильтониан был локальным. Для случая же биспинорного $\psi$ Дираку удалось получить таким образом локальный (и даже с производными лишь первого порядка) гамильтониан, получив этим самым так называемое уравнение Дирака (все решения которого в пространстве Минковского, кстати, являются и решениями уравнения Клейна — Гордона, но не обратно; а в искривлённом пространстве различие уравнений становится явным).

[10] см. примечание 2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]