Плотность состояний

Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в единичном интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем, где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).

Определение

Чтобы вычислить число состояний частицы в единичном энергетическом интервале, сначала найдём плотность состояний в обратном пространстве (пространство волновых векторов, оно же $k$-пространство). «Расстояние» по $k$ между состояниями определяется граничными условиями.

Для свободных электронов и фотонов в области $0<x<L$ или для электронов в кристаллической решётке с параметром решётки $L$ используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана для волновой функции: $\psi (x)=\psi (x+L)$. В таком случае $\psi (x)={\mbox{const}}\cdot e^{ik_{x}x}$ и для возможных значений $x$-компоненты волнового вектора $k_{x}$ получается соотношение $2\pi N=k_{x}L$, где $N$ — любое целое число. Расстояние между соседними (то есть $N$-м и $N$$+1$ -м) состояниями будет

$\Delta k_{x}={\frac {2\pi }{L}}$.

Аналогичные выражения можно записать и для других декартовых координат ($y$, $z$). Набор доступных состояний представляет собой бесконечный массив точек по нескольким (скольким именно — зависит от размерности) «направлениям» $k$-пространства.

Количество состояний $G(k)$, доступных для частицы с модулем волнового вектора меньше заданного значения $k$, равно объёму «$n$-мерного шара радиусом $k$», делённому на объём, приходящийся на одно состояние:

$G(k)={\frac {\nu _{s}}{\left({\Delta k}\right)^{n}}}\int \limits _{0}^{k}\,{d^{n}{\mathbf {k} }}$,

где $\nu _{s}$ — вырождение уровня (обычно спиновое вырождение, равное 2). Под $(\Delta k)^{n}$ понимается произведение $1\cdot \Delta k_{x}\cdot \Delta k_{y}\ldots$, в котором число сомножителей определяется размерностью. Для трехмерной (3D) ситуации интеграл равен $4/3\cdot \pi k^{3}$, а $(\Delta k)^{n}=(2\pi )^{3}/L^{3}$.

Чтобы найти плотность состояний в $k$-пространстве, выражение для $G(k)$ нужно продифференцировать:

$g(k)={\frac {dG(k)}{dk}}$.

Для перехода к плотности состояний по энергии необходимо знать закон дисперсии для частицы, то есть уметь выразить $k$ и $dk$ в терминах $E$ и $dE$. Тогда

$D(E)={\frac {1}{V}}\cdot g(k(E)){\frac {dk}{dE}}$.

Скажем, для свободного электрона $E=\hbar ^{2}k^{2}/2m$, $dE=\hbar ^{2}k\,dk/m$, где $m$ — масса, $\hbar$ — редуцированная постоянная Планка, $V$ (м³) — объём. С небольшими изменениями выражения применимы и при неодинаковости массы или размеров $L$ по разным направлениям. Результаты для $D$ приведены в таблице следующего раздела.

Для плотности состояний также существует формальное соотношение иного вида — через дельта-функцию:

$D(E)={\frac {1}{V}}\sum _{s}~\delta (E-E_{s})$,

где индекс $s$ отвечает некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра. При замене суммирования интегрированием по фазовому пространству используется правило

$\sum _{s}\rightarrow \int {\frac {d^{n}k~d^{n}q}{(2\pi )^{n}}}$,

где $q$ — пространственные координаты.

Примеры

В таблице представлены выражения для плотности состояний электронов с параболическим законом дисперсии:

	Объём $\int \limits _{0}^{k}\,{d^{n}{\mathbf {k} }}$	Объём для одного состояния $(\Delta k)^{n}$	Плотность состояний $D(E)$
$3D$	${\frac {4}{3}}\pi k^{3}$	${\frac {(2\pi )^{3}}{L_{x}L_{y}L_{z}}}$	${\frac {\sqrt {2m^{3}}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}{\sqrt {E}}$
$2D$	$\pi k^{2}$	${\frac {(2\pi )^{2}}{L_{x}L_{y}}}$	${\frac {m}{\pi \hbar ^{2}L_{z}}}\sum _{l}\Theta (E-E_{l})$
$1D$	$2k$	${\frac {2\pi }{L_{x}}}$	${\frac {\sqrt {2m}}{\pi \hbar L_{y}L_{z}}}\sum _{l}{\frac {1}{\sqrt {E-E_{l}}}}$
$0D$	1	1	${\frac {2}{L_{x}L_{y}L_{z}}}\sum _{l}\delta (E-E_{l})$

где $l$ — индекс подзоны размерного квантования, $\Theta$ — функция Хевисайда. Формулы описывают случай, когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.

Все формулы для $D(E)$, приведённые в самой правой колонке, имеют размерность Дж⁻¹м⁻³ и структуру «некое выражение $\rho (E)$, делённое на произведение линейных размеров области квантования» — этих размеров столько, по скольким координатам ограничено движение. Если такое деление не производить (убрать все $L$), то останется $\rho (E)$ с размерностью [$\rho$] = Дж⁻¹м⁻², Дж⁻¹м⁻¹ и Дж⁻¹, соответственно, для двумерного (2D), одномерного (1D) и нульмерного (0D) случаев. Под «плотностью состояний», в зависимости от контекста, может подразумеваться не только $D(E)$, но и $\rho (E)$.

Использование

Плотность состояний фигурирует в выражениях для расчёта концентрации частиц при их известном энергетическом распределении. Для фермионов, каковыми являются электроны, в условиях равновесия это распределение соответствует статистике Ферми — Дирака, а для бозонов, в том числе фотонов, — статистике Бозе — Эйнштейна.

Скажем, концентрации электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной зоне) полупроводника в равновесии рассчитываются как

$n=\int \limits _{E_{c}}^{+\infty }\rho (E)F(E)\,dE,\quad p=\int \limits _{-\infty }^{E_{v}}\rho (E)(1-F(E))\,dE$,

где $F$ — функция Ферми, $E_{c}$ ($E_{v}$) — энергия дна зоны проводимости (потолка валентной зоны). В качестве $\rho$ здесь должна быть подставлена формула для объекта соответствующей размерности: $\rho _{3D}$ для толщи материала (и тогда концентрации будут в м⁻³), $\rho _{2D}$ для квантовой ямы (и тогда концентрацию получим в м⁻²), $\rho _{1D}$ для квантовой проволоки (концентрацию получим в м⁻¹) или $\rho _{0D}$ (случай квантовой точки, получим не концентрацию, а число штук частиц).

Ссылки

• Britney Spears' Guide to Semiconductor Physics Архивная копия от 14 мая 2011 на Wayback Machine