Модифицированные функции Бесселя

Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.

Если в дифференциальном уравнении Бесселя

заменить на , оно примет вид

Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя .

Если не является целым числом, то функции Бесселя и являются двумя линейно независимыми решениями уравнения . Однако чаще используют функции

и

Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если  — вещественное число, а z неотрицательно, то эти функции принимают вещественные значения.

называется порядком функции.

Функция

также является решением уравнения . Её называют модифицированной функцией Бесселя второго рода или функцией Макдональда . Очевидно, что

и принимает вещественные значения, если  — вещественное число, а положительно.

График модифицированных функций Бесселя первого рода с различными порядками
График модифицированных функций Бесселя второго рода с различными порядками

Функции целого порядка

править

Так как   при целом   в качестве фундаментальной системы решений уравнения   выбирают   и   где

 

Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования

править

Модифицированные функции Бесселя первого рода

править
 
 
 
 

Модифицированные функции Бесселя второго рода

править
 
 
 
 

Вронскиан системы модифицированных функций Бесселя

править
 
 

Интегральные представления

править

Модифицированные функции Бесселя первого рода

править
  — гамма-функция.


 


 


 

Модифицированные функции Бесселя второго рода

править
 


 


 

Асимптотическое поведение

править
 
 

Частный и общий случаи:

 
 

Замечание

править

См. также

править

Литература

править
  • Ватсон Г. Теория бесселевых функций. Т. 1, 2. — М.: ИЛ, 1949.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены: Справочная математическая библиотека. — М.: Физматгиз, 1966. — 296 с.

Примечания

править
  1. Ляхов Л.Н. О j-рядах Шлемильха. Научные ведомости. Серия "Математика. Физика". 2013. №12 (155). Вып. 31.// https://cyberleninka.ru/article/n/o-j-ryadah-shlemilha
  2. Дж.Н. Ватсон. Теория бесселевых функций. (Книга). Глава XIX. Ряды Шлемильха

Ссылки

править