Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма

Теоре́ма Лиуви́лля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в математической физике, статистической физике и гамильтоновой механике. Теорема утверждает сохранение во времени фазового объёма, или плотности вероятности в фазовом пространстве.

Формулировка

Функция распределения гамильтоновой системы постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

Уравнение Лиувилля

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения (плотности вероятности) гамильтоновой системы в $6N$-мерном фазовом пространстве ($N$ — количество частиц в системе). Рассмотрим гамильтонову систему с координатами $q_{i}$ и сопряжёнными импульсами $p_{i}$, где $i=1,\dots ,d,\;d=3N$. Тогда распределение в фазовом пространстве $\rho (p_{i},q_{i})$ определяет вероятность $\rho (p,q)\,\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$ того, что система будет находиться в элементе объёма $\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$ своего фазового пространства.

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию $\rho (p_{i},q_{i};t)$ во времени $t$ согласно правилу нахождения полной производной функции с учётом несжимаемости потока в фазовом пространстве:

${\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}\right)=0.$

Производные фазовых координат по времени для гамильтоновых систем описываются согласно уравнениям Гамильтона:

${\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},$

${\dot {p}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}.$

Простое доказательство теоремы состоит в наблюдении, что эволюция $\rho$ определяется уравнением неразрывности (непрерывности):

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla (\rho \,\mathbf {v} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \operatorname {div} \mathbf {v} +\mathbf {v} \operatorname {grad} \rho =0,$

где $\mathbf {v}$ — скорость перемещения исследуемого объёма фазового пространства:

$\nabla (\rho \,\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho {\dot {q}}_{i})}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial (\rho {\dot {p}}_{i})}{\partial p_{i}}}\right)$

и замечанием, что разность между этим выражением и уравнением Лиувилля определяется только слагаемым, описывающим дивергенцию, а именно её отсутствие, что означает отсутствие источников или стоков плотности вероятности:

$\rho \operatorname {div} \mathbf {v} =\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial {\dot {q}}_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{i}}{\partial p_{i}}}\right)=\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\,\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\,\partial q_{i}}}\right)=0,$

где $H$ — гамильтониан, и были использованы уравнения Гамильтона. Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы. Теорема означает, что производная Лагранжа или субстанциональная производная плотности $d\rho /dt$ равна нулю. Это следует из уравнения непрерывности, так как поле скоростей $({\dot {p}},{\dot {q}})$ в фазовом пространстве бездивергентно, что в свою очередь вытекает из гамильтоновых уравнений для консервативных систем.

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим траекторию малого пятна (множества точек) в фазовом пространстве. Перемещаясь вдоль множества траекторий, пятно растягивается в одной координате, скажем — $p_{i}$ — но сжимается по другой координате $q_{i}$ так, что произведение $\Delta p_{i}\,\Delta q_{i}$ остаётся константой. Площадь пятна (фазовый объём) не изменяется.

Более точно, фазовый объём $\Gamma$ сохраняется при сдвигах времени. Если

$\int \limits _{\Gamma }d^{d}q\,d^{d}p=C,$

и $\Gamma (t)$ — множество точек фазового пространства, в которое может эволюционировать множество $\Gamma$ в момент времени $t$, тогда

$\int \limits _{\Gamma (t)}d^{d}q\,d^{d}p=C$

для всех времён $t$. Объём фазового пространства гамильтоновой системы сохраняется, поскольку эволюция во времени в гамильтоновой механике — это каноническое преобразование, а все канонические преобразования имеют единичный якобиан.

Через симплектическую форму

Пусть $(M,\omega )$ — симплектическое многообразие и $H\colon M\to \mathbb {R}$ — гладкая функция. Пусть $V$ есть симплектический градиент $H$, то есть векторное поле удовлетворяющее соотношению

$dH(X)=\omega (V,X)$

для любого векторного поля $X$. Тогда

${\mathcal {L}}_{V}\omega =0,$

где ${\mathcal {L}}$ обозначает производную Ли.

Из этого утверждения следует теорема Лиувилля. Действительно, из выше приведённого тождества следует, что

${\mathcal {L}}_{V}\omega ^{\wedge n}=0,$

а если $M$ — $2n$-мерно, то $\omega ^{\wedge n}$ является формой объёма на $M$.

Физическая интерпретация

Ожидаемое полное число частиц — интеграл по всему фазовому пространству от функции распределения:

$N=\int d^{d}q\,d^{d}p\,\rho (p,q)$

(нормировочный множитель опущен). В простейшем случае, когда частица движется в евклидовом пространстве в поле потенциальных сил $\mathbf {F}$ с координатами $\mathbf {x}$ и импульсами $\mathbf {p}$, теорему Лиувилля можно записать в виде

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla _{\mathbf {x} }\rho +{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot \nabla _{\mathbf {p} }\rho =0,$

где $\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}$ — скорость. В физике плазмы это выражение называется уравнением Власова или бесстолкновительным уравнением Больцмана и используется, чтобы описать большое число бесстолкновительных частиц, двигающихся в самосогласованном поле сил $\mathbf {F}$.

В классической статистической механике число частиц $N$ велико, порядка числа Авогадро. В стационарном случае $\partial \rho /\partial t=0$ можно найти плотность микросостояний, доступных в данном статистическом ансамбле. Для стационарных состояний функции распределения $\rho$ равна любой функции гамильтониана $H$, например, в распределении Максвелла-Больцмана $\rho \sim e^{-H/kT}$, где $T$ — температура, $k$ — постоянная Больцмана.

См. также: канонический ансамбль и микроканонический ансамбль

Запись через скобку Пуассона

Используя скобку Пуассона, имеющее в канонических координатах $(q^{i},p_{j})$ вид

$\{A,B\}=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\partial A}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial q^{i}}}\right),$

уравнение Лиувилля (другое название: уравнение Лиувилля — фон Неймана) для гамильтоновых систем приобретает вид

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\{\rho ,H\}.$

Запись с использованием оператора Лиувилля

При помощи оператора Лиувилля

$i{\hat {L}}=\sum _{i=1}^{d}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right]$

уравнение для гамильтоновых систем приобретает вид

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+i{\hat {L}}\rho =0.$

Замечания

• Каноническое квантование даёт квантовомеханическую версию теоремы.

Эта процедура, часто используемая, чтобы получить квантовые аналоги классических систем, вовлекает описание классической системы, используя гамильтонову механику. Классическим переменным тогда дают иное толкование, а именно, как квантовые операторы, в то время как скобки Пуассона заменены коммутаторами. В этом случае получается уравнение

${\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ],$

где ρ матрица плотности. Это уравнение называется уравнением фон Неймана и описывает эволюцию квантовых состояний гамильтоновых систем.

• Уравнение Лиувилля верно для равновесных и неравновесных систем. Это фундаментальное уравнение неравновесной статистической механики.

• Предположение о несжимаемости фазового потока, то есть выполнение условия

$\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial }{\partial q_{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}{\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}\right)=0,$ 

является существенным. В общем случае произвольной динамической системы

${\dot {q}}_{i}=Q_{i}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t),\quad {\dot {p}}_{i}=P_{i}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)$ 

уравнение для эволюции во времени плотности $\rho (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)$ распределения частиц в фазовом пространстве получается из уравнения баланса

$\rho (\mathbf {p} ',\mathbf {q} ',t')\,d\Lambda '=\rho (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)\,d\Lambda ,$ 

$t'=t+dt,\quad p_{i}'=p_{i}+P_{i}\,dt,\quad q_{i}'=q_{i}+Q_{i}\,dt,\quad d\Lambda '=d\Lambda \left[1+dt\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial Q_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{i}}}\right)\right]$ 

(последнее соотношение — это масштабирование элемента фазового объёма при бесконечно малом перемещении вдоль фазовой траектории). Итоговое уравнение имеет вид

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho Q_{i})}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial (\rho P_{i})}{\partial p_{i}}}\right)=0$

(см. также Уравнение Фоккера — Планка) и в случае  $Q_{i}=\partial H/\partial p_{i},\ P_{i}=-\partial H/\partial q_{i}$ совпадает с уравнением Лиувилля.

См. также

• Интеграл Пуанкаре — Картана