Вторичное квантование

Втори́чное квантова́ние (каноническое квантование) — метод описания многочастичных квантовомеханических систем. Наиболее часто этот метод применяется для задач квантовой теории поля и в многочастичных задачах физики конденсированных сред.

Описание

Предположим, что существует классификация всех возможных состояний каждой частицы или квазичастицы в рассматриваемой системе. Обозначим состояния частицы как $1,2,3,...$. Тогда любое возможное состояние системы описывается набором чисел частиц (чисел заполнения) в каждом из этих состояний $(N_{1},N_{2},N_{3},...)$. Суть метода вторичного квантования в том, что вместо волновых функций частиц в координатном или в импульсном представлении вводятся волновые функции в представлении чисел заполнения различных состояний одной частицы. Достоинство метода вторичного квантования в том, что он позволяет единообразно описывать системы с различным числом частиц, как с конечным фиксированным (в задачах физики конденсированных сред), так и с переменным, потенциально бесконечным (в задачах КТП). Переходы между различными состояниями (например, из состояния $k$ в состояние $q$) одной частицы при этом описываются как уменьшение числа заполнения, соответствующего одной волновой функции на единицу $(N_{k}\Rightarrow N_{k}-1)$, и увеличение числа заполнения другого состояния на единицу $(N_{q}\Rightarrow N_{q}+1)$. Вероятности этих процессов зависят не только от элементарной вероятности перехода, но и от чисел заполнения, участвующих в процессе состояний.

Статистика Бозе — Эйнштейна

Для частиц, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна, вероятность перехода из состояния $k$ в состояние $q$ есть $W(k,q)=w(k,q)N_{k}(N_{q}+1)$, где $w(k,q)$ — элементарная вероятность, рассчитываемая стандартными методами квантовой механики. Операторы, изменяющие числа заполнения состояний на единицу, работают так же как операторы рождения и уничтожения в задаче об одномерном гармоническом осцилляторе:

$[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij},\ [{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}]=0,$

где квадратные скобки означают коммутатор, а $\delta _{ij}$ — символ Кронекера.

Оператор рождения по определению представляет собой матрицу с единственным отличным от нуля элементом:

$\left\langle N_{i}|a_{i}^{\dagger }|N_{i}-1\right\rangle =\left\langle N_{i}-1|a_{i}|N_{i}\right\rangle ^{*}={\sqrt {N_{i}}}$.

Оператор рождения ${\hat {a}}_{i}^{\dagger }$ так называется потому, что он увеличивает на 1 число частиц в i-м состоянии:

${\hat {a}}_{i}^{\dagger }\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i},...)={\sqrt {N_{i}+1}}\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i}+1,...)$

Оператор уничтожения также является матрицей с единственным отличным от нуля элементом:

$\left\langle N_{i}-1|a_{i}|N_{i}\right\rangle ={\sqrt {N_{i}}}$.

Оператор уничтожения ${\hat {a}}_{i}$ так называется потому, что он уменьшает на 1 число частиц в i-м состоянии:

${\hat {a}}_{i}\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i},...)={\sqrt {N_{i}}}\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i}-1,...)$

Статистика Ферми-Дирака

Для частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, вероятность перехода из состояния $k$ в состояние $q$ есть $W(k,q)=w(k,q)N_{k}(1-N_{q})$, где $w(k,q)$ — элементарная вероятность, рассчитываемая стандартными методами квантовой механики, а $N_{k},N_{q}$ могут принимать значения только $0,1$. Для фермионов используются другие операторы, которые удовлетворяют антикоммутационным соотношениям:

$\left\{{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\right\}={\hat {a}}_{i}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }+{\hat {a}}_{j}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}=\delta _{ij},\ \left\{{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}\right\}=0.$

Оператор рождения по определению представляет собой матрицу с единственным отличным от нуля элементом:

$\left\langle 1_{i}|a_{i}^{\dagger }|0_{i}\right\rangle =\left\langle 0_{i}|a_{i}|1_{i}\right\rangle ^{*}=(-1)^{\sum _{k=1}^{i-1}N_{k}}$.

Оператор рождения ${\hat {a}}_{i}^{\dagger }$ так называется потому, что он увеличивает c 0 до 1 число частиц в i-м состоянии:

${\hat {a}}_{i}^{\dagger }\Phi (N_{1},N_{2},...,0_{i},...)=\Phi (N_{1},N_{2},...,1_{i},...)$

Оператор уничтожения также является матрицей с единственным отличным от нуля элементом:

$\left\langle 0_{i}|a_{i}|1_{i}\right\rangle =(-1)^{\sum _{k=1}^{i-1}N_{k}}$.

Оператор уничтожения ${\hat {a}}_{i}$ так называется потому, что он уменьшает на 1 число частиц в i-м состоянии:

${\hat {a}}_{i}\Phi (N_{1},N_{2},...,1_{i},...)=\Phi (N_{1},N_{2},...,0_{i},...)$

Применения

Задачи по переходам квантовых частиц с различных состояний, физика лазеров, теория комбинационного рассеяния света, физика твердого тела, теория турбулентности жидкости, газа, плазмы.

См. также

• Нерешённые проблемы современной физики
• Алгебра Грассмана
• Операторы рождения и уничтожения

Литература

• Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. — 2-е изд., доп. — М.: Наука, 1986. — 320 с.
• Боголюбов Н. Н., Боголюбов Н. Н. (мл.). Введение в квантовую статистическую механику. — М.: Наука, 1984. — 384 с.
• Нгуен Ван Хьеу. Основы метода вторичного квантования. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 208 с.
• Ю. А. Неретин. «Метод вторичного квантования» Березина. Взгляд 40 лет спустя.