Скобка Пуассона

Ско́бки Пуассо́на (также возможно ско́бка Пуассо́на и скобки Ли) — оператор, играющий центральную роль в определении эволюции во времени динамической системы. Эта операция названа в честь С.-Д. Пуассона. Рассматривался С. Пуассоном в 1809 году, затем забыт и переоткрыт Карлом Якоби.

Скобки Пуассона векторных полей

Пусть $v$ и $u$ — векторные поля на гладком многообразии $M$, $L_{v}$ — оператор производной Ли по направлению векторного поля $v$. Коммутатор операторов $L_{v}$ и $L_{u}$ есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому существует такое векторное поле $[v,u]$, для которого

$L_{v}L_{u}-L_{u}L_{v}\equiv [L_{v},L_{u}]=L_{[v,u]}$

Компоненты векторного поля $[v,u]$ в произвольной системе координат выражаются через компоненты $v$ и $u$ по формуле

$[v,u]_{i}=\sum _{j}v_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-u_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}.$

Таким образом, поле $[v,u]$ не зависит от системы координат $(x_{1},...,x_{n}),$ которая используется в формуле.

Это векторное поле называется коммутатором, скобками Ли или скобками Пуассона двух векторных полей. Явное выражение для скобок Ли полей:

$[v,u]=L_{v}u$

В голономном базисе оно принимает вид

$[v,u]^{\mu }=v^{\alpha }\partial _{\alpha }u^{\mu }-u^{\alpha }\partial _{\alpha }v^{\mu }$

Пример

Пусть $G=\mathrm {Diff} (M)$ есть группа диффеоморфизмов многообразия $M$. Тогда $\mathrm {ad} _{v}w=-\{v,w\},$ где $\{v,w\}$ — скобка Пуассона, $\mathrm {ad}$ — дифференциал $\mathrm {Ad}$ в единице группы. Символ $\mathrm {ad} _{v}$ обозначает образ элемента $v$.

Пусть $t\mapsto g(t)$ является кривой, которая выходит из $k$ с начальной скоростью ${\dot {g}}=m,$ и пусть $s\mapsto h(s)$ является такой же кривой с начальной скоростью $h'=\omega .$ Тогда

$g(t)h(s)g(t)^{-1}=(k+tm+o(t))(k+s\omega +o(s))(k+tm+o(t))^{-1}=k+s[\omega +t(m\omega -\omega m)+o(t)]+o(s)$

при $t,s\rightarrow 0.$

Вектор $m$ в алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ является скоростью в единице $k$ пути $g(t)$ на группе Ли $G$

Свойства

Все, кроме последних двух, доказываются простым подсчётом.

• Линейность: ${\Big [}u,cv{\Big ]}=c{\Big [}u,v{\Big ]},\;\;\;\;c$ — функция, не зависящая от $u$ и $v$.
• Антикоммутативность: ${\Big [}u,v{\Big ]}=-{\Big [}v,u{\Big ]}$
• ${\Big [}w,u+v{\Big ]}={\Big [}w,u{\Big ]}+{\Big [}w,v{\Big ]}$
• ${\Big [}u,u{\Big ]}=0$
• ${\cfrac {\partial {\Big [}u,v{\Big ]}}{\partial t}}={\Big [}{\cfrac {\partial u}{\partial t}},v{\Big ]}+{\Big [}u,{\cfrac {\partial v}{\partial t}}{\Big ]}$
• ${\Big [}w,c{\Big ]}=0$
• ${\Big [}w,u\cdot v{\Big ]}={\Big [}w,u{\Big ]}v+u{\Big [}w,v{\Big ]}$
• ${\Big [}w,u(v_{1},\ldots ,v_{k}){\Big ]}=\sum _{l=1}^{k}{\cfrac {\partial u}{\partial v_{l}}}{\Big [}w,v_{l}{\Big ]}$
• Тождество Якоби: ${\Big [}{\Big [}u,v{\Big ]},w{\Big ]}+{\Big [}{\Big [}v,w{\Big ]},u{\Big ]}+{\Big [}{\Big [}w,u{\Big ]},v{\Big ]}=0.$
• Операция коммутирования задаёт на множестве векторных полей структуру алгебры Ли.

Скобки Пуассона функций

Пусть $M$ — симплектическое многообразие. Симплектическая структура $\omega$ на $M$ позволяет ввести на множестве функций на $M$ операцию скобок Пуассона, обозначаемую $\{\cdot ,\cdot \}$ или $[\cdot ,\cdot ]$ и задаваемую по правилу

$[F,G]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ L_{\mathbf {F} }G\equiv dG(\mathbf {F} )\equiv \omega (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )$

где $\mathbf {F}$ (также $IdF$) — векторное поле, соответствующее функции Гамильтона $F$. Оно определяется через дифференциал функции $F$ и изоморфизм между 1-формами и векторами, задаваемый (невырожденной) формой $\omega$. Именно, для любого векторного поля $\mathbf {v}$

$dF(\mathbf {v} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \omega (\mathbf {v} ,\mathbf {F} )$

Алгебра Ли функций Гамильтона

В силу кососимметричности и билинейности $\omega$ скобка Пуассона также будет кососимметричной и билинейной:

$[F,G]=-[G,F]$

$[F,\lambda G+\mu H]=\lambda [F,G]+\mu [F,H]$

Выражение

$[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]$

является линейной функцией вторых производных каждой из функций $F,G,H$. Однако

${\begin{array}{r}[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=\\-L_{Id[G,H]}F+L_{\mathbf {G} }L_{\mathbf {H} }F-L_{\mathbf {H} }L_{\mathbf {G} }F=\\\left(-L_{Id[G,H]}+L_{[\mathbf {G} ,\mathbf {H} ]}\right)F\end{array}}$

Это выражение не содержит вторых производных $F$. Аналогично, оно не содержит вторых производных $G$ и $H$, а потому

$[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=0$

то есть скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби. Таким образом, скобки Пуассона позволяют ввести на множестве функций на $M$ структуру алгебры Ли. Из тождества Якоби следует, что для любой функции $H$

$L_{Id[F,G]}H=L_{[\mathbf {F} ,\mathbf {G} ]}H$,

то есть

$Id[F,G]=[\mathbf {F} ,\mathbf {G} ]$

— операция построения гамильтонова векторного поля по функции задаёт гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей.

Свойства

• Скобки Пуассона невырождены:

$\forall F\not \equiv 0\ \exists H:[F,H]\neq 0$

• Скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Лейбница:

$[F,GH]=[F,G]H+G[F,H]$

• Функция $F$ является первым интегралом для гамильтоновой системы с гамильтонианом $H$ тогда и только тогда, когда $[F,H]=0$
• Скобка Пуассона двух первых интегралов системы — снова первый интеграл (следствие тождества Якоби).
• Рассмотрим эволюцию гамильтоновой системы с функцией Гамильтона $H$, заданной на многообразии $M$. Полная производная по времени от произвольной функции $f\colon M\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ запишется в виде

${\begin{array}{cl}{\frac {d}{dt}}f=&{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\dot {q}}{\frac {\partial f}{\partial q}}+{\dot {p}}{\frac {\partial f}{\partial p}}=\\&{\frac {\partial f}{\partial t}}+L_{\mathbf {H} }f=\\&{\frac {\partial }{\partial t}}f+[H,f]\end{array}}$

• В канонических координатах $(q_{i},p_{j})$ скобки Пуассона принимают вид

$[f,g]=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right)$

Философское значение

Скобки Пуассона сыграли важную эвристическую роль при создании квантовой механики методом классической аналогии между классическими и квантовыми скобками Пуассона.