Уравнение Власова

Уравнение Власова — кинетическое уравнение для функции распределения частиц плазмы, описывающее их динамику в электромагнитных полях посредством самосогласованного поля. Впервые предложено А. А. Власовым в статье и позднее излагается в монографии.

Проблемы газокинетического подхода

В своей работе Власов сначала указывает на неприменимость газокинетического подхода, основанного на уравнении Больцмана (предполагается, что интеграл столкновений зависит только от парных столкновений), к описанию динамики плазмы с кулоновским взаимодействием. Он отмечает следующие проблемы, возникающие при попытке применения теории, основанной на парных столкновениях, к описанию плазмы:

1. приближение парных столкновений не согласуется с исследованиями Рэлея и Ленгмюра и Тонкса, которые предсказали и исследовали ленгмюровские волны в электронной газовой плазме.
2. приближение парных столкновений формально не применимо к кулоновскому взаимодействию из-за расходимости полного сечения рассеивания.
3. приближение парных столкновений не позволяет объяснить эксперименты Меррилла и Вебба об аномальном рассеянии электронов в газовой плазме.

В качестве причины возникновения этих проблем Власов указывает на дальнодействующий характер кулоновских сил, что приводит к взаимодействию каждой из частиц с совокупностью других частиц. Дальнодействие в этом случае означает, что радиус влияния этой силы больше чем среднее расстояние между частицами.

Уравнения Власова — Максвелла

Власов изначально рассматривал систему общих уравнений плазмы, включающих три компоненты (электроны, ионы и нейтральные атомы), и записывал уравнение Больцмана для s-ой компоненты плазмы в виде

${\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}+\mathrm {div} _{\mathbf {r} }{\vec {v}}f_{s}+{\frac {e_{s}}{m_{s}}}\left({\vec {E}}+{\frac {1}{c}}[{\vec {v}},{\vec {B}}]\right)\mathrm {grad} _{\mathbf {v} }f_{s}=\left[{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}\right]_{s1}^{st}+\left[{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}\right]_{s2}^{st}+\left[{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}\right]_{s3}^{st}.$

где $f_{s}({\vec {r}},{\vec {p}},t)$ — функция распределения. Эта система уравнений включала также уравнения Максвелла, и уравнения для заряда и тока, выраженные через функции распределения $f_{s}$. Так как Власов интересовался только волновыми решениями, то он пренебрёг вкладами интегралов столкновений, поскольку по оценкам выходило, что частоты плазменных волн много больше частот парных столкновений частиц в плазме. То есть вместо описания взаимодействия заряженных частиц в плазме посредством столкновений, предложил использовать самосогласованное поле, созданное заряженными частицами плазмы для описания длиннодействующего потенциала. Вместо уравнения Больцмана Власов предлагает использовать следующую систему уравнений для описания заряженных компонент плазмы (электронов с функцией распределений $f_{e}({\vec {r}},{\vec {p}},t)$ и положительных ионов с функцией распределения $f_{i}({\vec {r}},{\vec {p}},t)$):

${\frac {\partial f_{e}}{\partial t}}+{\vec {v}}{\frac {\partial f_{e}}{\partial {\vec {x}}}}-e{\Bigl (}{\vec {E}}+{\frac {1}{c}}[{\vec {v}},{\vec {B}}]{\Bigr )}{\frac {\partial f_{e}}{\partial {\vec {p}}}}=0$

${\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\vec {v}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial {\vec {x}}}}+e{\Bigl (}{\vec {E}}+{\frac {1}{c}}[{\vec {v}},{\vec {B}}]{\Bigr )}{\frac {\partial f_{i}}{\partial {\vec {p}}}}=0$

${\rm {rot}}{\vec {B}}={\frac {4\pi {\vec {j}}}{c}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}},\quad {\rm {rot}}{\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

${\rm {div}}{\vec {E}}=4\pi \rho ,\quad {\rm {div}}{\vec {B}}=0$

$\rho =e\int (f_{i}-f_{e})d^{3}{\vec {p}},\quad {\vec {j}}=e\int (f_{i}-f_{e}){\vec {v}}d^{3}{\vec {p}}$

Здесь $e$ — заряд электрона, $c$ — скорость света, ${\vec {E}}({\vec {r}},t)$ и ${\vec {B}}({\vec {r}},t)$ — самосогласованные электрическое и магнитное поля, созданные в точке ${\vec {r}}$ в момент времени $t$ всеми заряженными частицами плазмы. Существенное отличие этой системы уравнений от уравнений движения заряженных частиц во внешнем электромагнитном поле в том, что само самосогласованное электромагнитное поле сложным образом зависит от функций распределения ионов и электронов.

Уравнения Власова — Пуассона

Уравнения Власова — Максвелла являются системой нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Если флуктуации функций распределения относительно равновесного состояния невелики, эта система уравнений может быть линеаризована. Линеаризация даст систему уравнений Власова — Пуассона, описывающую динамику плазмы в самосогласованном электростатическом поле. Уравнения Власова — Пуассона являются системой уравнений Власова для каждой компоненты плазмы (рассматриваем нерелятивистский предел):

${\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial {\vec {x}}}}+{\frac {q_{\alpha }{\vec {E}}}{m_{\alpha }}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial {\vec {v}}}}=0,$

и уравнения Пуассона для самосогласованного электрического поля:

$\nabla \cdot {\vec {E}}=-\Delta \phi =4\pi \rho .$

Здесь $q_{\alpha }$ — электрический заряд и $m_{\alpha }$ — масса частиц плазмы, ${\vec {E}}({\vec {x}},t)$ — самосогласованное электрическое поле, $\phi ({\vec {x}},t)$ — потенциал самосогласованного электрического поля и $\rho$ — плотность электрического заряда.

Литература

• Котельников И. А. Лекции по физике плазмы. Том 1: Основы физики плазмы. — 3-е изд. — СПб.: Лань, 2021. — 400 с. — ISBN 978-5-8114-6958-1.
• И. П. Базаров, П. Н. Николаев. Анатолий Александрович Власов. — Физический факультет МГУ. — М., 1999. — С. 19—26. — (Выдающиеся учёные физического факультета МГУ). — Подробное обсуждение уравнений Власова.
• F. Pegoraro, F. Califano, G. Manfredi, P. J. Morrison. Theory and applications of the Vlasov equation (англ.) // Eur. Phys. J. D. — 2015. — Vol. 69. — P. 68. — doi:10.1140/epjd/e2015-60082-y. — arXiv:1502.03768.