Форма объёма

Форма объёма — дифференциальная форма высшей размерности на гладком многообразии (то есть $n$-форма на $n$-мерном многообразии), которая не обнуляется ни в одной точке.

Форма объёма позволяет определить интеграл функции по многообразию. Другими словами, форма объёма задаёт меру, по которой можно интегрировать функции.

Свойства

• Гладкое многообразие допускает форму объёма тогда и только тогда, когда оно ориентируемо.
• На многообразии с формой объёма $\omega$, дивергенцию векторного поля $X$ можно определить с помощью следующих тождеств:

  $(\operatorname {div} X)\cdot \omega ={\mathcal {L}}_{X}\omega =d(X\;\lrcorner \;\omega )$

где ${\mathcal {L}}_{X}$ обозначает производную Ли по $X$, $d$ — внешний дифференциал, а $X\;\lrcorner \;\omega$ — операцию подстановки $X$ в $\omega$.

Примеры

• На любой группе Ли естественный выбор формы объёма получается из формы в единице правыми (или левыми) сдвигами. Такие формы называются право- и левоинвариантными. Как следствие, всякая группа Ли ориентируема. Соответствующая мера называется мерой Хаара.

• Симплектическое многообразие $(M,\omega )$ размерности $2{\cdot }n$ имеет естественную форму объёма $\omega ^{\wedge n}$.

• Любое ориентированное псевдориманово (в том числе риманово) многообразие имеет естественную форму объёма, которая в локальных координатах может быть выражена как

  $\omega ={\sqrt {|g|}}\cdot dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}$

где $|g|$ — абсолютное значение определителя матрицы представления метрического тензора.