Производная Лагранжа , также известная как субстанциональная производная или материальная производная , — это производная , взятая в зависимости от системы координат , движущейся со скоростью u и часто используемая в гидроаэромеханике и классической механике . Она определена как от скалярной функции
ϕ
(
r
→
,
t
)
{\displaystyle \phi ({\vec {r}},t)}
векторной
v
→
(
r
→
,
t
)
{\displaystyle {\vec {v}}({\vec {r}},t)}
D
ϕ
D
t
=
∂
ϕ
∂
t
+
(
u
⋅
∇
)
ϕ
{\displaystyle {\frac {D\phi }{Dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi }
D
v
D
t
=
∂
v
∂
t
+
(
u
⋅
∇
)
v
{\displaystyle {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} }
где
∇
{\displaystyle \nabla }
оператор набла , а
∂
∂
t
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}
частную производную по t. Второе слагаемое есть конвективная производная данной функции.
Верно следующее тождество, когда берётся производная Лагранжа от интеграла :
D
D
t
∫
V
(
t
)
f
(
x
)
d
V
=
∫
V
(
t
)
(
∂
f
∂
t
+
∇
⋅
(
f
u
)
)
d
V
=
∫
V
(
t
)
(
D
f
D
t
+
f
(
∇
⋅
u
)
)
d
V
{\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\int \limits _{V(t)}f(\mathbf {x} )\,dV=\int \limits _{V(t)}\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\nabla \cdot (f\mathbf {u} )\right)\,dV=\int \limits _{V(t)}\left({\frac {Df}{Dt}}+f(\nabla \cdot \mathbf {u} )\right)\,dV}
Доказательство через правило дифференцирования сложных функций для частных производных. В тензорной нотации (с соглашением суммирования Эйнштейна) можно записать:
[
d
B
d
t
]
j
=
d
d
t
B
j
^
(
t
,
x
i
(
t
)
)
=
∂
B
j
∂
t
+
∂
B
j
∂
x
i
∂
x
i
∂
t
=
∂
B
j
∂
t
+
∂
x
i
∂
t
∂
∂
x
i
B
j
=
∂
B
j
∂
t
+
[
(
u
⋅
∇
)
B
]
j
{\displaystyle \left[{\frac {d\mathbf {B} }{dt}}\right]_{j}={\frac {d}{dt}}{\hat {B_{j}}}(t,x_{i}(t))={\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial B_{j}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial t}}={\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial x_{i}}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}B_{j}={\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+\left[(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {B} \right]_{j}}
![{\displaystyle \left[{\frac {d\mathbf {B} }{dt}}\right]_{j}={\frac {d}{dt}}{\hat {B_{j}}}(t,x_{i}(t))={\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial B_{j}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial t}}={\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial x_{i}}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}B_{j}={\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+\left[(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {B} \right]_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085f5dfd4eb9c15076309ff5ba6027035850c6d3)