Конвективная производная

Конвекти́вная произво́дная от векторной либо скалярной функции в точке ${\vec {r}}$ в момент времени t определяет изменение параметров данной функции в ${\vec {r}}$ в момент t при конвекции (движении среды с определенной скоростью ${\vec {u}}({\vec {r}},t)$). Является одним из слагаемых производной Лагранжа (субстанциональной производной) и может быть найдена путём действия оператора $({\vec {u}}\cdot \nabla )$ на скалярную либо векторную функцию (тут $\nabla$ — оператор набла).

В общем случае материальная производная имеет вид:

${\frac {{\mathcal {D}}\mathbf {A} }{{\mathcal {D}}t}}={\frac {D\mathbf {A} }{Dt}}-\left(\mathbf {A} \cdot \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\right)-\left(\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\cdot \mathbf {A} \right)+\alpha _{1}\left(\operatorname {Sym} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\cdot \mathbf {A} \right)+\alpha _{2}\left(\mathbf {A} \cdot \operatorname {Sym} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\right)+\alpha _{3}\cdot \mathbf {A} \cdot \operatorname {Tr} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)$

или в индексной записи:

${\frac {{\mathcal {D}}A_{ij}}{{\mathcal {D}}t}}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}+\alpha _{1}\cdot v_{(i,k)}\cdot A_{kj}+\alpha _{2}\cdot A_{ik}\cdot v_{(k,j)}+\alpha _{3}\cdot {A}_{ij}\cdot v_{k,k}$

где ${\frac {DA_{ij}}{Dt}}={\frac {\partial A_{ij}}{\partial t}}+v_{k}\cdot {\frac {\partial A_{ij}}{\partial x_{k}}}$ — обычная производная Лагранжа;

$\nabla \otimes \mathbf {v}$ или $v_{i,j}={\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}$ — производные по координатам;

$\operatorname {Sym} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)={\frac {1}{2}}\left(\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)+\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)^{\mathrm {T} }\right)$ или $v_{(i,j)}={\frac {1}{2}}\left(v_{i,j}+v_{j,i}\right)$ — симметрирование тензора;

$\operatorname {Alt} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)={\frac {1}{2}}\left(\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)-\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)^{\mathrm {T} }\right)$ или $v_{[i,j]}={\frac {1}{2}}\left(v_{i,j}-v_{j,i}\right)$ — альтернирование тензора.

Виды:

• Верхняя конвективная производная (производная Олдройда) — $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=0$

${\stackrel {~\triangledown }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}$

• Нижняя конвективная производная (производная Коттера — Ривлина) — $\alpha _{1}=\alpha _{2}=4,\alpha _{3}=0$

${\stackrel {~\vartriangle }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{k,j}+v_{i,k}\cdot A_{kj}$

• Правая конвективная производная — $\alpha _{1}=\alpha _{2}=2,\alpha _{3}=0$

${\stackrel {~\triangleleft }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\cdot v_{k,j}+v_{i,k}\cdot A_{kj}$

• Левая конвективная производная — $\alpha _{1}=\alpha _{3}=0,\alpha _{2}=2$

${\stackrel {~\triangleright }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}$

• Вращательная производная (производная Яумана, Яумана — Зарембы — Нолла) — $\alpha _{1}=\alpha _{2}=-1,\alpha _{3}=0$

${\stackrel {~\circ }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{[k,j]}-v_{[i,k]}\cdot A_{kj}={\frac {1}{2}}\left({\stackrel {~\triangledown }{A}}_{ij}+{\stackrel {~\vartriangle }{A}}_{ij}\right)$

• Производная Трусделла — $\alpha _{1}=\alpha _{2}=0,\alpha _{3}=1$

${\stackrel {~\blacktriangledown }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}={\stackrel {~\triangledown }{A}}_{ij}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}$

• Производная Хилла — $\alpha _{1}=\alpha _{2}=-1,\alpha _{3}=1$

${\stackrel {~\bullet }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{[k,j]}-v_{[i,k]}\cdot A_{kj}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}={\stackrel {~\circ }{A}}_{ij}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}$

Различные виды конвективной производной используются для моделирования неньютоновских жидкостей, см., например, жидкость Максвелла.

Ссылки

• Реологические уравнения
• О построении эволюционных определяющих уравнений
• [1]
• Weisstein, Eric W. Convective Operator (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.