Архиме́дово те́ло (или архиме́дов многогра́нник) — выпуклый многогранник, имеющий в качестве граней два или более типов правильных многоугольников, примыкающих к идентичным вершинам. Здесь «идентичные вершины» означают, что для любых двух вершин существует изометрия всего тела, переводящая одну вершину в другую.
Архимедовы тела отличаются от платоновых тел (правильных многогранников), которые состоят только из одного типа многоугольников в одинаковых вершинах, и от многогранников Джонсона, правильные многоугольные грани которого принадлежат различным типам вершин.
Иногда только требуется, чтобы грани, прилегающие к одной вершине, были изометричными граням при другой вершине. Эта разница в определениях определяет, считается ли удлинённый квадратный гиробикупол (псевдоромбокубооктаэдр) архимедовым телом или многогранником Джонсона — это единственный выпуклый многогранник, в котором многоугольные грани примыкают к вершине одним и тем же способом в каждой вершине, но многогранник не имеет глобальную симметрию, которая бы переводила любую вершину в любую другую. Основываясь на существовании псевдоромбокубооктаэдра, Грюнбаум[1] предложил терминологическое различие, в котором архимедово тело определяется как имеющее одну и ту же вершинную фигуру в каждой вершине (включая удлинённый квадратный гиробикупол), в то время как однородный многогранник определяется как тело, у которого любая вершина симметрична любой другой (что исключает гиробикупол).
Призмы и антипризмы, группами симметрий которых являются диэдрические группы, обычно не считаются архимедовыми телами, несмотря на то, что они подпадают под определение, данное выше. С этим ограничением существует только конечное число архимедовых тел. Все тела, кроме удлинённого квадратного гирокупола, можно получить построениями Витхоффа из платоновых тел с помощью тетраэдральной, октаэдральной[англ.] и икосаэдральной симметрий.
Источник названия
правитьАрхимедовы тела названы по имени Архимеда, обсуждавшего их в ныне потерянной работе. Папп ссылается на эту работу и утверждает, что Архимед перечислил 13 многогранников[1]. Во времена Возрождения художники и математики ценили чистые формы и переоткрыли их все. Эти исследования были почти полностью закончены около 1620 года Иоганном Кеплером[2], который определил понятия призм, антипризм и невыпуклых тел, известных как тела Кеплера — Пуансо.
Кеплер, возможно, нашёл также удлинённый квадратный гиробикупол (псевдоромбокубооктаэдр) — по меньшей мере, он утверждал, что имеется 14 архимедовых тел. Однако его опубликованные перечисления включают только 13 однородных многогранников, и первое ясное утверждение о существовании псевдоромбоикосаэдра было сделано в 1905 Дунканом Соммервилем[англ.][1].
Классификация
правитьСуществует 13 архимедовых тел (не считая удлинённого квадратного гиробикупола; 15, если учитывать зеркальные отражения двух энантиоморфов, которые ниже перечислены отдельно).
Здесь вершинная конфигурация относится к типам правильных многоугольников, которые примыкают к вершине. Например, вершинная конфигурация (4,6,8) означает, что квадрат, шестиугольник и восьмиугольник встречаются в вершине (порядок перечисления берётся по часовой стрелке относительно вершины).
| Название (Альтернативное название) |
Шлефли Коксетер |
Прозрачный | Непрозрачный | Развёртка | Вершинная фигура |
Граней | Рёбер | Вершин | Объём (при единич- ном ребре) |
Группа точек | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Усечённый тетраэдр | {3,3}  
|
 (Вращение) |
|
|
3.6.6
|
8 | 4 треугольника 4 шестиугольника |
18 | 12 | 2.710576 | Td |
| Кубооктаэдр (ромботетраэдр) |
r{4,3} или rr{3,3}  или
|
 (Вращение) |
|
|
3.4.3.4
|
14 | 8 Треугольников 6 квадратов |
24 | 12 | 2.357023 | Oh |
| Усечённый куб | t{4,3}
|
 (Вращение) |
|
|
3.8.8
|
14 | 8 треугольников 6 восьмиугольников |
36 | 24 | 13.599663 | Oh |
| Усечённый октаэдр (усечённый тетратераэдр) |
t{3,4} или tr{3,3} или
|
 (Вращение) |
|
|
4.6.6
|
14 | 6 квадратов 8 шестиугольников |
36 | 24 | 11.313709 | Oh |
| Ромбокубооктаэдр (малый ромбокубооктаэдр) |
rr{4,3}
|
 (Вращение) |
|
|
3.4.4.4
|
26 | 8 треугольников 18 квадратов |
48 | 24 | 8.714045 | Oh |
| Усечённый кубооктаэдр (большой ромбокубооктаэдр) |
tr{4,3}
|
 (Вращение) |
|
|
4.6.8
|
26 | 12 квадратов 8 шестиугольников 6 восьмиугольников |
72 | 48 | 41.798990 | Oh |
| Курносый куб, или плосконосый куб (плосконосый кубоктаэдр) |
sr{4,3}
|
 (Вращение) |
|
|
3.3.3.3.4
|
38 | 32 треугольника 6 квадратов |
60 | 24 | 7.889295 | O |
| Икосододекаэдр | r{5,3} 
|
 (Вращение) |
|
|
3.5.3.5
|
32 | 20 треугольников 12 пятиугольников |
60 | 30 | 13.835526 | Ih |
| Усечённый додекаэдр | t{5,3}
|
 (Вращение) |
|
|
3.10.10
|
32 | 20 треугольников 12 десятиугольников |
90 | 60 | 85.039665 | Ih |
| Усечённый икосаэдр | t{3,5}
|
 (Вращение) |
|
|
5.6.6
|
32 | 12 пятиугольников 20 шестиугольников |
90 | 60 | 55.287731 | Ih |
| Ромбоикосододекаэдр (малый ромбоикосододекаэдр) |
rr{5,3}
|
 (Вращение) |
|
|
3.4.5.4
|
62 | 20 треугольников 30 квадратов 12 пятиугольников |
120 | 60 | 41.615324 | Ih |
| Ромбоусечённый икосододекаэдр | tr{5,3}
|
 (Вращение) |
|
|
4.6.10
|
62 | 30 квадратов 20 шестиугольников 12 десятиугольников |
180 | 120 | 206.803399 | Ih |
| Плосконосый додекаэдр (плосконосый икосододекаэдр) |
sr{5,3}
|
 (Вращение) |
|
|
3.3.3.3.5
|
92 | 80 треугольников 12 пятиугольников |
150 | 60 | 37.616650 | I |
Некоторые определения полуправильных многогранников включают ещё одно тело — удлинённый квадратный гиробикупол или «псевдоромбокубооктаэдр»[3].
Свойства
правитьЧисло вершин равно отношению 720° к угловому дефекту при вершине.
Кубоктаэдр и икосододекаэдр являются рёберно однородными[англ.] и называются квазиправильными.
Двойственные многогранники архимедовых тел называются каталановыми телами. Вместе с бипирамидами и трапецоэдрами они являются однородными по граням телами с правильными вершинами.
Хиральность
правитьПлосконосый куб и плосконосый додекаэдр хиральны, поскольку они появляются в левостороннем и правостороннем вариантах. Если что-то имеет несколько видов, которые являются трёхмерным зеркальным отражением друг друга, эти формы называют энантиоморфами (это название применяется также для некоторых форм химических соединений).
Построение архимедовых тел
править
Различные архимедовы и платоновы тела могут быть получены друг из друга с помощью пригоршни операций. Начиная с платоновых тел можно использовать операцию усечения углов. Для сохранения симметрии усечение делается плоскостью, перпендикулярной прямой, соединяющей угол с центром многоугольника. В зависимости от того, насколько глубоко проводится усечение (см. таблицу ниже), получим различные платоновы и архимедовы (и другие) тела. Растяжение или скашивание осуществляется путём движения граней (в направлении) от центра (на одно и то же расстояние, чтобы сохранить симметрию) и созданием, затем, выпуклой оболочки. Расширение с поворотом осуществляется также вращением граней, это ломает прямоугольники, возникающие на местах рёбер, на треугольники. Последнее построение, которое мы здесь приводим, это усечение как углов, так и рёбер. Если игнорировать масштабирование, расширение можно также рассматривать как усечение углов и рёбер, но с определённым отношением между усечениями углов и рёбер.
| Симметрия | Тетраэдральная
|
Октаэдральная[англ.] 
|
Икосаэдральная 
| |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Начальное тело Операция |
Символ {p, q}  
|
Тетраэдр {3,3}  |
Куб {4,3}  |
Октаэдр {3,4}  |
Додекаэдр {5,3}  |
Икосаэдр {3,5} 
|
| Усечение (t) | t{p, q}
|
Усечённый тетраэдр |
Усечённый куб |
Усечённый октаэдр |
Усечённый додекаэдр |
Усечённый икосаэдр
|
| Полное усечение (r) Амвон (a) |
r{p, q}
|
Тетратетраэдр |
Кубооктаэдр |
Икосододекаэдр
| ||
| Глубокое усечение[англ.] (2t) (dk) |
2t{p, q}
|
Усечённый тетраэдр |
усечённый октаэдр |
усечённый куб |
усечённый икосаэдр |
усечённый додекаэдр
|
| Двойное полное усечение (2r) Двойственный (d) |
2r{p, q}
|
тетраэдр |
октаэдр |
куб |
икосаэдр |
додекаэдр
|
| Скашивание (rr) Растяжение (e) |
rr{p, q}
|
Кубооктаэдр |
Ромбокубооктаэдр |
ромбоикосододекаэдр 
| ||
| Плосконосое спрямление (sr) Спрямление (s) |
sr{p, q}
|
плосконосый тетратетраэдр |
плосконосый куб |
плосконосый икосододекаэдр
| ||
| скос-усечение[англ.] (tr) Скашивание (b) |
tr{p, q}
|
Усечённый октаэдр |
Усечённый кубооктаэдр |
Ромбоусечённый икосододекаэдр
| ||
Заметим двойственность между кубом и октаэдром и между додекаэдром и икосаэдром. Также, частично вследствие самодвойственности тетраэдра, только одно архимедово тело имеет только одну тетраэдральную симметрию.
См. также
правитьПримечания
править- ↑ 1 2 3 Grünbaum, 2009.
- ↑ Field, 1997, p. 241—289.
- ↑ Malkevitch, 1988, p. 85.
Литература
править- Field J. Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler // Archive for History of Exact Sciences. — Springer, 1997. — Vol. 50, no. 3-4. — ISSN 0003-9519.
- Grünbaum, Branko. An enduring error // Elemente der Mathematik. — 2009. — Vol. 64, no. 3. — P. 89–101. — doi:10.4171/EM/120.. Перепечатано в The Best Writing on Mathematics 2010 / Mircea Pitici. — Princeton University Press, 2011. — P. 18–31.
- Malkevitch, Joseph. . Shaping Space: A Polyhedral Approach / M. Senechal, G. Fleck. — Boston: Birkhäuser, 1988. — P. 80–92.
- Pugh, Anthony. . Polyhedra: A visual approach. — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7. Chapter 2
- Udaya, Jayatilake. Calculations on face and vertex regular polyhedral // Mathematical Gazette. — 2005. — Vol. 89, no. 514. — P. 76–81.
- Williams, Robert. . The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc., 1979. — ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
Ссылки
править- Weisstein, Eric W. Archimedean solid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Archimedean Solids Архивная копия от 20 февраля 2016 на Wayback Machine by Eric W. Weisstein, Wolfram Demonstrations Project.
- Paper models of Archimedean Solids and Catalan Solids Архивная копия от 20 февраля 2016 на Wayback Machine
- Free paper models(nets) of Archimedean solids Архивная копия от 6 февраля 2016 на Wayback Machine
- The Uniform Polyhedra Архивная копия от 11 февраля 2008 на Wayback Machine by Dr. R. Mäder
- Virtual Reality Polyhedra Архивная копия от 23 февраля 2008 на Wayback Machine, The Encyclopedia of Polyhedra by George W. Hart
- Penultimate Modular Origami Архивная копия от 15 июля 2010 на Wayback Machine by James S. Plank
- Interactive 3D polyhedra на Java
- Solid Body Viewer (недоступная ссылка) Интерактивный просмотр 3D-многогранников, который позволяет сохранить модель в svg-, stl- или obj-формате.
- Stella: Polyhedron Navigator Архивная копия от 9 июля 2010 на Wayback Machine: Программное обеспечение для создания изображений, многие из которых присутствуют на этой странице.
- Paper Models of Archimedean (and other) Polyhedra Архивная копия от 25 января 2021 на Wayback Machine
Для улучшения этой статьи желательно:
|