Усечение (геометрия)

Усечённый квадрат является правильным восьмиугольником: t{4} = {8} =	Усечённый куб t{4,3} или	Усечённые кубические соты^[англ.] t{4,3,4} или

Усечение — операция в пространстве любой размерности, которая отсекает вершины многогранника и при которой образуются новые грани на месте вершин. Термин берёт начало от названий архимедовых тел, данных Кеплером.

Однородное отсечение

Усечение правильного многоугольника

В общем случае любой многогранник может быть усечён с некоторой степенью свободы выбора глубины усечения, что показано в статье Нотация Конвея для многогранников.

Обычно применяемый вид усечения — однородное усечение, при котором операция усечения применяется к правильному многограннику и результатом которого получается однородный многогранник с равными длинами рёбер. В этом случае нет свободы выбора и в результате получаем вполне определённые геометрические тела, похожие на правильные многогранники.

В общем случае все однородные многогранники с одним обведённым узлом (в диаграмме Коксетера — Дынкина) имеют однородное усечение. Например, икосододекаэдр, представленный символами Шлефли r{5,3} или ${\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}$ и имеющий диаграммы Коксетера — Дынкина или , имеет однородное усечение — ромбоусечённый икосододекаэдр с нотациями tr{5,3} или $t{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}$ , . В диаграмме Коксетера — Дынкина эффект усечения проявляется в том, что у всех узлов, смежных с обведённым, появляются кружки.

Усечение многоугольников

Усечённый n-сторонний многоугольник будет иметь 2n сторон. Однородно усечённый правильный многоугольник становится другим правильным многоугольником: t{n} = {2n}. Полное усечение, r{3}, является другим правильным многоугольником, двойственным^[англ.] исходному.

Правильные многоугольники можно также представить диаграммой Коксетера — Дынкина, , и его однородное усечение будет иметь диаграмму , а его полное усечение — диаграмму . Граф представляет группу Коксетера I₂(n), в которой каждый узел является зеркалом, а каждое ребро представляет угол π/n между зеркалами, кружки же вокруг одного или двух зеркал показывают, какие из них активны.

Параметрическое усечение треугольника
{3}		t{3} = {6}		r{3} = {3}

Звёздчатые многоугольники могут быть тоже усечены. Усечённая пентаграмма {5/2} будет выглядеть как пятиугольник, но, в действительности, является дважды накрытым (вырожденным) десятиугольником ({10/2}) с двумя множествами наложенных друг на друга вершин и сторон. Усечённая большая гептаграмма (семиугольная звезда) {7/3} даёт четырнадцатиугольную звезду {14/3}.

Однородное усечение правильных многогранников и мозаик

Усечение куба до полного отсечения

Когда речь идёт об усечении правильных многогранников или мозаик из правильных многоугольников^[англ.], обычно использыется «однородное усечение», что предполагает усечение до состояния, когда исходные грани становятся правильными многоугольниками с удвоенным числом сторон.

Последовательность на рисунке показывает пример усечения куба, где показаны четыре шага из непрерывного процесса усечения от полного куба до полного усечения куба. Конечное тело — кубооктаэдр.

Среднее изображение является однородным усечённым кубом. Он представлен символом Шлефли t{p,q,…}.

Глубокое усечение^[англ.] — это более сильное усечение, удаляющее все исходные рёбра, но оставляющие внутренние части исходных граней. Например, усечённый октаэдр является глубоко усечённым кубом: 2t{4,3}.

Полное глубокое усечение называется биректификацией и оно сводит исходные грани к точкам. Многогранник при этом превращается в двойственный многогранник. Например, октаэдр является полным глубоким усечением куба: {3,4} = 2r{4,3}.

Ещё один тип усечения — всестороннее усечение, при котором отсекаются рёбра и вершины, что даёт прямоугольники вместо рёбер.

Многогранники в более высоких размерностях имеют другие уровни усечений — ранцинацию^[англ.], при которой отсекаются грани, рёбра и вершины. В размерностях выше 5 существует стерикация^[англ.], при которой отсекаются грани, рёбра и вершины, а также трёхмерные грани.

Усечение рёбер

Усечение рёбер — это снятие фаски с многогранника, как в случае всестороннего усечения, но вершины при этом остаются, а рёбра заменяются шестиугольниками. В 4-мерном многограннике рёбра заменяются на удлинённые бипирамиды^[англ.].

Альтернации или частичные усечения

Плосконосый куб можно рассматривать как однородную альтернацию усечённого кубооктаэдра

Альтернация или частичное усечение удаляет только некоторые из исходных вершин.

При частичном усечении или альтернации^[англ.] половина вершин и рёбер полностью удаляется. Операция применима к многогранникам, грани которого имеют чётное число сторон. Грани сокращают число сторон вдвое, а квадратные грани переходят рёбра. Например, тетраэдр является альтернацией куба, h{4,3}.

Умаление^[англ.] — более общий термин, использующийся для многогранников Джонсона, предполагает удаление одной или более вершин, рёбер или граней не трогая оставшиеся вершины. Например, триуменьшенный икосаэдр^[англ.] получается из правильного икосаэдра путём удаления трёх вершин.

Другие частичные усечения основываются на симметрии. Например, тетраэдрально уменьшенный додекаэдр^[англ.].

Обобщённые усечения

Типы усечения показаны для ребра, принадлежащего многоугольнику или многограннику с голубыми и красными вершинами. Ребро меняет ориентацию после полного усечения.

Процесс линейного усечения может быть обобщён путём разрешения параметра усечения быть отрицательным или разрешения проходить через середину ребра, что даёт самопересекающиеся звёздчатые многогранники. Такие многогранники могут быть связаны с некоторыми правильными звёздчатыми многоугольниками^[англ.] и однородными звёздчатыми многогранниками.

Мелкое усечение — рёбра уменьшаются в размерах, грани удваивают число сторон, на месте бывших вершин образуются новые грани.
Однородное усечение — специальный случай, при котором все полученные рёбра имеют одинаковую длину. В усечённом кубе, t{4,3}, квадратные грани превращаются в восьмиугольники, а вместо вершин образуются треугольники.
Антиусечение обратно мелкому усечению. В результате получается многогранник, который похож на исходный, но имеет части, висящие на углах, вместо отрезания углов.
Полное усечение — предельное мелкое усечение, где рёбра сводятся к точкам. Примером служит Кубооктаэдр, r{4,3}.
Гиперусечение является видом усечения, которое идёт далее полного усечения, обращая исходные рёбра, что приводит к самопересечениям.
Квазиусечение является видом усечения, идущего далее гиперусечения, где обращённые рёбра становятся длиннее исходных. Это усечение можно получить из исходного многогранника путём отступления граней от рёбер, то есть движению в обратную сторону от вершины. Например, квазиусечение квадрата даёт правильную октаграмму (t{4,3}={8/3}), а квазиусечение куба даёт однородный звёздчатый усечённый гексаэдр^[англ.], t{4/3,3}.

Усечения квадрата
Типы усечения квадрата, {4}. Исходные рёбра показаны красным цветом, а новые рёбра, полученные в результате усечения — голубым. Однородное усечение является правильным восьмиугольником, t{4}={8}. Полное усечение квадрата становится опять квадратом с диагональной ориентацией сторон. Вершины пронумерованы против часовой стрелки цифрами от 1 до 4, полученные в результате усечения пары отмечены буквами a и b.

Усечения куба
⇨	Куб {4,3}	⇨	Усечение t{4,3}	⇨	Полное усечение r{4,3}	⇩
Антиусечение						Гиперусечение
⇧	Полное квазиусечение	⇦	Квазиусечение t{4/3,3}^[англ.]	⇦	Полное гиперусечение	⇦

См. также

Примечания

Литература

H. S. M Coxeter. Chapter 8: Truncation // Regular Polytopes^[англ.]. — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc, 1973. — С. 145–154. — ISBN 0-486-61480-8.
Norman Johnson. Uniform Polytopes. — Manuscript, 1991.
Norman Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — University of Toronto: Ph.D. Dissertation, 1966.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Truncation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Glossary ForH yperspace
Polyhedra Names, truncation

Операции над многогранниками
Основа	Усечение	Полное усечение	Глубокое усечение^[англ.]	Двойствен- ность	Растяжение	Всеусечение^[англ.]	Альтернация^[англ.]


t₀{p, q} {p, q}	t₀₁{p,q}^[англ.] t{p, q}	t₁{p,q} r{p, q}	t₁₂{p,q}^[англ.] 2t{p, q}	t₂{p, q} 2r{p, q}	t₀₂{p,q}^[англ.] rr{p, q}	t₀₁₂{p,q}^[англ.] tr{p, q}	ht₀{p,q}^[англ.] h{q, p}	ht₁₂{p,q} s{q, p}	ht₀₁₂{p,q} sr{p, q}