Линк вершины многогранника

Линк вершины многогранника или вершинная фигура — многогранник на единицу меньшей размерности, который получается в сечении исходного многогранника плоскостью, срезающей одну вершину. В частности линк вершины содержит информацию о порядке следования граней многогранника вокруг одной вершины.

Линк вершины треугольной призмы является треугольником.

Линк вершины большого икосаэдра — пентаграмма.

Определения — основное и вариации

Если взять некоторую вершину многогранника, отметить точку где-нибудь на каждом из прилегающих рёбер, нарисовать отрезки на гранях, соединяя полученные точки, в результате получится полный цикл (многоугольник) вокруг вершины. Этот многоугольник и является линком вершины.

Формальное определение может варьироваться очень широко в зависимости от обстоятельств. Например, Коксетер (1948, 1954) менял своё определение как ему удобно для текущего обсуждения. Большинство нижеприведённых определений линка подходит одинаково хорошо как для бесконечных мозаик на плоскости, так и для пространственных мозаик из многогранников.

Как плоское сечение

Если срезать вершину многогранника, пересекая каждое из рёбер, смежных вершине, поверхность среза будет являться линком. Это, пожалуй, наиболее общепринятый подход и наиболее понятный. Разные авторы делают срез в разных местах. Веннинджер перерезает каждое ребро на единичном расстоянии от вершины, так же как это делает и Коксетер (1948). Для однородных многогранников построение Дормана Люка пересекает каждое смежное ребро в середине. Другие авторы делают сечение через вершину на другой стороне каждого ребра.

Как сферический многоугольник

Кромвель делает сферическое сечение с центром в вершине. Поверхность сечения или линк, тогда, является сферическим многоугольником на этой сфере.

Как множество связных вершин

Многие комбинаторные и вычислительные подходы (например, Скиллинг) рассматривают линк как упорядоченное (или частично упорядоченное) множество точек всех соседних (соединённых ребром) вершин для данной вершины.

Абстрактное определение

В теории абстрактных многогранников линка заданной вершины V состоит из всех элементов, инцидентных вершине — вершин, рёбер, граней и т. д.

Это множество элементов известно как вершинная звезда.

Основные свойства

Линка вершины n-многогранника — это (n−1)-многогранник. Например, линком вершины 3-мерного многогранника является многоугольник, а линком для 4-мерного многогранника является 3-мерный многогранник.

Линки наиболее полезны для однородных многогранников, поскольку все вершины имеют один линк.

Для невыпуклых многогранников линк может быть тоже невыпуклым. Однородные многогранники, например, могут иметь грани в виде звёздчатых многоугольников, звёздчатыми могут быть и линки.

Построение Дормана Люка

Грань двойственного многогранника двойственные линку соответствующей вершины.

Правильные многогранники

Если многогранник правильный, его можно описать символом Шлефли, символы граней, и линков можно извлечь из этой записи.

В общем случае правильный многогранник с символом Шлефли {a,b,c,...,y,z} имеет грани (наибольшей размерности) {a,b,c,...,y}, а в качестве линка будет {b,c,...,y,z}.

1. Для трёхмерного правильных многогранников, возможно звёздчатых {p,q}, линком будет {q}, q-угольник.
   • Например, линк для куба {4,3} — треугольник {3}.
2. Для правильных 4-мерных многогранников или пространственных мозаик {p,q,r} линком будет {q,r}.
   • Например, линком для гиперкуба {4,3,3} будет правильный тетраэдр {3,3}.
   • Линком для кубических сот {4,3,4} будет правильный октаэдр {3,4}.

Поскольку двойственный многогранник правильного многогранника также является правильным и представляется обратными индексами в символе Шлефли, легко понять, что двойственная фигура к линку вершины является ячейкой двойственного многогранника. Для правильных многогранников этот факт является частным случаем построения Дормана Люка.

Пример линка сот

Линком вершины усечённых кубических сот является неоднородная квадратная пирамида. Один октаэдр и четыре усечённых куба, расположенных около каждой вершины, образуют пространственную мозаику.

Линк вершины: Неоднородная квадратная пирамида	Диаграмма Шлегеля	Перспектива
Образуется из квадратного основания октаэдра	(3.3.3.3)
и четырёх равнобедренных треугольных сторон усечённого куба	(3.8.8)

Линк ребра

Усечённые кубические соты имеют два типа рёбер. Рёбра первого типа принадлежат четырём усечённым кубам, а рёбра второго — одному октаэдру и двум усечённым кубам. Это можно рассматривать как два вида линка рёбер. Эти рёбра можно рассматривать как линк линка

С линком связано другое понятие — линк ребра. Линк ребра является (n−2)-многогранником, представляющим расстановку граней размерности n−1 вокруг данного ребра (прилегающих к данному ребру). Линк ребра является линком вершины линка вершины. Линки ребер полезны для выражения связей между элементами правильных и однородных многогранников.

Правильные и однородные многогранники, полученные в результате отражений с одним активным зеркалом, имеют единственный тип линка ребра, но в общем случае однородный многогранник может иметь столько линков, сколько зеркал активны при построении, поскольку каждое активное зеркало создаёт ребро в фундаментальной области.

Правильные многогранники (и соты) имеют единственный линк ребра, которая является также правильным. Для правильного многогранника {p,q,r,s,...,z} линк ребра будет {r,s,...,z}.

В четырёхмерном пространстве линк ребра многогранника или трёхмерных сот является многоугольником, представляющим расположение граней вокруг ребра. Например, линк ребра правильных кубических сот {4,3,4} является квадрат, а для правильного четырёхмерного многогранника {p,q,r} линк ребра будет {r}.

Менее очевидно, что у усечённых кубических сот t_0,1{4,3,4} в качестве линк вершины выступает квадратная пирамида. Здесь присутствует два типа линков ребер. Один — квадратный линк ребра при вершине пирамиды, она соответствует четырём усечённым кубам вокруг ребра. Второй лик — треугольники при основании пирамиды. Они представляют расположение двух усечённых кубов и октаэдра вокруг других ребер.

См. также

• Вершинная конфигурация
• Список правильных многомерных многогранников и соединений

Литература

• М. Веннинджер. Модели многогранников / Пер. с англ. В. В. Фирсова. Под ред. и с послесл. И. М. Яглома. — М.: Мир, 1974. — 236 с.
• H. S. M Coxeter. Chapter 8: Truncation // Regular Polytopes. — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — С. 145–154. — ISBN 0-486-61480-8.
• H. S. M. Coxeter (et al.). Uniform Polyhedra. — Phil. Trans, 1954. — Т. 246 A.
• P. Cromwell. Polyhedra. — Cambridge University press, 1999. — ISBN 9-521-55432-2.
• H. M. Cundy, A. P. Rollett. Mathematical Models. — Oxford, New York, 1961.
• J. Skilling. The Complete Set of Uniform Polyhedra. — 1975. — Т. 278 A.
• M. Wenninger. Dual Models. — Cambridge University press, 2003. — ISBN 0-521-34534-9.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Vertex figures // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Vertex figure (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Glossary For Hyperspace
• Vertex Figures
• Consistent Vertex Descriptions