Правильные четырёхмерные многогранники являются четырёхмерными аналогами правильных многогранников в трёхмерном пространстве и правильных многоугольников на плоскости.
Правильные 4-мерные многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19-го века, хотя полное множество было открыто много позже.
Существует шесть выпуклых и десять звёздчатых правильных 4-мерных многогранников, в общей сумме шестнадцать.
История
править
Выпуклые 4-мерные многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19-го века. Шлефли обнаружил, что существует ровно шесть таких тел.
Шлефли нашёл также четыре правильных звёздчатых 4-мерных многогранника большой стодвадцатиячейник[англ.], большой звёздчатый стодвадцатиячейник[англ.], великий шестистотячейник[англ.] и большой великий звёздчатый стодвадцатиячейник. Он пропустил оставшиеся шесть, поскольку он не разрешал нарушения эйлеровой характеристики на ячейках или вершинных фигурах (F − E + V = 2). Это исключает ячейки и вершинные фигуры, такие как {5,5/2} и {5/2,5}.
Эдмунд Гесс (1843–1903) опубликовал полный список в своей книге на немецком Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (Введение в учение о делении поверхности шара с особым учётом его применения в теории равногранных и равноугольных многогранников) в 1883.
Построение
правитьСуществование правильного 4-мерного многогранника ограничено существованием правильных (3-мерных) многогранников , которые образуют его ячейки и ограничивают двугранный угол
чтобы ячейки представляли собой замкнутые 3-мерные поверхности.
Шесть выпуклых и десять звёздчатых многогранников, описываемых здесь, авляются единственными решениями, удовлетворяющими ограничениям.
Существует четыре невыпуклых символа Шлефли {p,q,r}, имеющие допустимые ячейки {p,q} и вершинные фигуры {q,r}, которые проходят тест на диэдральный угол, но которые не дают конечные фигуры — {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.
Правильные выпуклые 4-мерные многогранники
правитьПравильные выпуклые 4-мерные многогранники являются четырёхмерными аналогами платоновых тел в трёхмерном пространстве и выпуклых правильных многоугольников в двумерном.
Пять из них можно понимать как близкие аналоги платоновых тел. Существует одна дополнительная фигура, двадцатичетырёхъячейник, которая не имеет близкого трёхмерного эквивалента.
Каждый выпуклый правильный 4-мерный многогранник ограничен множеством 3-мерных ячеек[англ.], которые являются платоновыми телами одного типа и размера. Ячейки соприкасаются друг с другом по граням, образуя правильную структуру.
Свойства
правитьСледующие таблицы перечисляют некоторые свойства шести выпуклых правильных 4-мерных многогранников. Группы симметрии этих 4-мерных многогранников все являются группами Коксетера и даны в данной статье. Число, следующее за названием группы, равно порядку группы.
| Имена | Рисунок | Семейство | Шлефли Коксетер |
Вершин | Рёбра | Грани | Ячейки[англ.] | Верш. фигура |
Двой- ственный |
Группа симметрии | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| пятиячейник пятигранник 4-симплекс |
 |
n-симплекс (Семейство An) |
{3,3,3}   |
5 | 10 | 10 {3} |
5 {3,3} |
{3,3} | (самодвой- ственный) |
A4 [3,3,3] |
120 |
| восьмиячейник тессеракт 4-куб |
 |
n-куб (Семейство Bn) |
{4,3,3}  |
16 | 32 | 24 {4} |
8 {4,3} |
{3,3} | 16-ячейник | B4 [4,3,3] |
384 |
| шестнадцатиячейник 4-ортоплекс |
 |
n-ортоплекс (Семейство Bn) |
{3,3,4} |
8 | 24 | 32 {3} |
16 {3,3} |
{3,4} | 8-ячейник | B4 [4,3,3] |
384 |
| двадцатичетырёхъячейник октаплекс полиоктаэдр (pO) |
 |
Семейство Fn | {3,4,3} |
24 | 96 | 96 {3} |
24 {3,4} |
{4,3} | (самодвой- ственный) |
F4 [3,4,3] |
1152 |
| стодвадцатиячейник додекаконтихорон додекаплекс полидодекаэдр (pD) |
 |
n-пятиугольный многогранник (Семейство Hn) |
{5,3,3}  |
600 | 1200 | 720 {5} |
120 {5,3} |
{3,3} | 600-ячейник | H4 [5,3,3] |
14400 |
| шестисотъячейник тетраплекс политетраэдр (pT) |
 |
n-пятиугольный многогранник (Семейство Hn) |
{3,3,5} |
120 | 720 | 1200 {3} |
600 {3,3} |
{3,5} | 120-ячейник | H4 [5,3,3] |
14400 |
Джон Конвей является сторонником имён симплекс, ортоплекс, тессеракт, октаплекс или полиоктаэдр (pO), додекаплекс или полидодекаэдр (pD) и тетраплекс или политетраэдр (pT) [1].
Норман Джонсон является сторонником имён n-ячейник или пентахорон, тессеракт или октахорон, гексадекахорон, икоситетрахорон, гекатоникосаэдр (или додекаконтахорон) и гексакосихорон.[2][3][4]
Характеристика Эйлера для всех 4-мерных многогранников равна нулю. Имеется 4-мерный аналог формулы Эйлера для многогранников:
где Nk означает число k-граней в многограннике (вершина является 0-гранью, ребро является 1-гранью, и т.д.).
Визуализация
правитьСледующая таблица показывает некоторые 2-мерные проекции 4-мерных многогранников. Различные другие визуализации можно найти во внешних ссылках. Графы диаграмм Коксетера — Дынкина также даны ниже символа Шлефли.
| A4 = [3,3,3] | BC4 = [4,3,3] | F4 = [3,4,3] | H4 = [5,3,3] | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Пятиячейник | 8-ячейник | 16-ячейник | 24-ячейник | 120-ячейник | 600-ячейник |
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
|
|
|
|
|
|
|
| 3-мерные ортографические проекции | |||||
 тетраэдральная оболочка (центрировано по ячейке/вершине) |
 кубическая оболочка (центрировано по ячейке) |
 кубическая оболочка (центрировано по ячейке) |
 кубооктаэдральная оболочка (центрировано по ячейке) |
 Усечённый ромбический ромботриаконтаэдр[англ.] (центрировано по ячейке) |
 пентакиикоси- додекаэдральная оболочка[англ.] (центрировано по ячейке) |
| Каркасы диаграмм Шлегеля (Перспективная проекция) | |||||
 центрировано по ячейке |
 центрировано по ячейке |
 центрировано по ячейке |
 центрировано по ячейке |
 центрировано по ячейке |
 центрировано по вершине |
| Каркасы стереографических проекций (3-сфера) | |||||
|
|
|
|
|
|
Правильные звёздчатые 4-мерные многогранники (Шлефли–Гесса)
править
Четырёхмерные многогранники Шлефли–Гесса — полный список десяти правильных самопересекающихся звёздчатых четырёхмерных многогранников [5]. Многогранники названы по именам открывателей — Людвига Шлефли и Эдмунда Гесса. Каждый многогранник представлен символом Шлефли {p,q,r}, в котором одно из чисел — 5/2. Многогранники аналогичны правильным невыпуклым многогранникам Кеплера — Пуансо.
Имена
править
Имена, приведённые здесь, даны Джоном Конвеем и расширяют имена Кэли для многогранников Кеплера — Пуансо — к модификаторам stellated (звёздчатый) и great (большой) он добавил grand (великий). Конвей определил следующие операции:
- stellation (образование звёздчатой формы) заменяет рёбра на более длинные на тех же прямых. (Пример — пятиугольник преобразуется в пентаграмму)
- greatening (увеличение) заменяет грани на грани большего размера на тех же плоскостях. (Пример — икосаэдр увеличивается в большой икосаэдр)
- aggrandizement (возвеличивание) заменяет ячейки большими в тех же 3-мерных пространствах. (Пример — 600-cell возвеличивается в великий 600-ячейник[англ.])
Имена по Конвею для 10 форм из 3 4-мерных многогранников с правильными ячейками — pT=polytetrahedron (политетраэдр) {3,3,5} (тетраэдральный шестисотячейник), pI=polyicoshedron (полиикосаэдр) {3,5,5/2} (икосаэдральный стодвадцатиячейник[англ.]) и pD=polydodecahedron (полидодекаэдр) {5,3,3} (додекаэдральный стодвадцатиячейник) с модифицирующими приставками g, a и s для great (большой), grand (великий) и stellated (звёздчатый). Конечная звёздчатая форма, great grand stellated polydodecahedron (большой великий звёздчатый полидодекаэдр), тогда получит обозначение gaspD.
Симметрия
правитьВсе десять полихоров имеют [3,3,5] (H4) гексакосихорную симметрию[англ.]. Они генерируются шестью связанными группами симметрии рационального порядка тетраэдров Гурса — [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2,3] и [3,3,5/2].
Каждая группа имеет 2 правильных звёздчатых многогранников, за исключением двух самодвойственных групп, содержащих по одному многограннику. Таким образом, имеется 4 двойственные пары и 2 самодвойственные формы среди десяти правильных звёздчатых многогранников.
Свойства
правитьПримечание:
- Существует два уникальных расположения вершин[англ.], встречающихся в стодвадцатиячейнике и шестисотъячейнике.
- Существует четыре уникальных расположения рёбер[англ.], которые показаны как каркасы ортографических проекций.
- Существует семь уникальных расположения граней[англ.], показанные как тела (с цветными гранями) ортографических проекций.
Ячейки (3-мерные многогранники), их грани (многоугольники), многоугольные рёберные фигуры[англ.] и многогранная вершинные фигуры представлены их символами Шлефли.
| Название Аббревиатура Конвея |
Ортогональная проекция |
Шлефли Коксетер |
Ячейки[англ.] {p, q} |
Грани {p} |
Рёбра {r} |
Вершины {q, r} |
Плот- ность[англ.] |
χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Икосаэдральный стодвадцатиячейник[англ.] полиикосаэдр (pI) |
|
{3,5,5/2}  
|
120 {3,5} 
|
1200 {3} 
|
720 {5/2} 
|
120 {5,5/2} 
|
4 | 480 |
| Малый звёздчатый стодвадцатиячейник[англ.] звёздчатый полидодекаэдр (spD) |
|
{5/2,5,3}
|
120 {5/2,5} 
|
720 {5/2}
|
1200 {3}
|
120 {5,3} 
|
4 | −480 |
| Большой стодвадцатиячейник[англ.] большой полидодекаэдр (gpD) |
|
{5,5/2,5}
|
120 {5,5/2}
|
720 {5} 
|
720 {5}
|
120 {5/2,5}
|
6 | 0 |
| Великий стодвадцатиячейник[англ.] великий полидодекаэдр (apD) |
|
{5,3,5/2}
|
120 {5,3}
|
720 {5}
|
720 {5/2}
|
120 {3,5/2} 
|
20 | 0 |
| Великий звёздчатый стодвадцатиячейник[англ.] большой звёздчатый полидодекаэдр (gspD) |
|
{5/2,3,5}
|
120 {5/2,3} 
|
720 {5/2}
|
720 {5}
|
120 {3,5}
|
20 | 0 |
| Великий звёздчатый стодвадцатиячейник[англ.] большой звёздчатый полидодекаэдр (aspD) |
|
{5/2,5,5/2}
|
120 {5/2,5}
|
720 {5/2}
|
720 {5/2}
|
120 {5,5/2}
|
66 | 0 |
| Большой великий стодвадцатиячейник[англ.] большой великий полидодекаэдр (gapD) |
|
{5,5/2,3}
|
120 {5,5/2}
|
720 {5}
|
1200 {3}
|
120 {5/2,3}
|
76 | −480 |
| Большой икосаэдральный стодвадцатиячейник[англ.] большой полиикосаэдр (gpI) |
|
{3,5/2,5}
|
120 {3,5/2}
|
1200 {3}
|
720 {5}
|
120 {5/2,5}
|
76 | 480 |
| Великий шестисотъячейник[англ.] великий политетраэдр (apT) |
|
{3,3,5/2}
|
600 {3,3}
|
1200 {3}
|
720 {5/2}
|
120 {3,5/2}
|
191 | 0 |
| Большой великий звёздчатый стодвадцатиячейник большой великий звёздчаты полидодекаэдр (gaspD) |
|
{5/2,3,3}
|
120 {5/2,3}
|
720 {5/2}
|
1200 {3}
|
600 {3,3}
|
191 | 0 |
См. также
править- Правильные многомерные многогранники
- Список правильных многогранников и соединений
- Бесконечные правильные 4-мерные многогранники:
- Правильные евклидовы соты: {4,3,4}
- Четыре компактных правильных гиперболических сот: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
- Одиннадцать паракомпактных правильных гиперболических сот: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5}, and {6,3,6}.
- Абстрактные правильные 4-мерные многогранники:
- Одиннадцатиячейник {3,5,3}
- Пятидесятисемиячейник[англ.] {5,3,5}
- Семейства однородных четырёхмерных многогранников[англ.], построенные на основе этих 6 правильных форм.
- Платоновы тела
- Тело Кеплера — Пуансо – правильные звёздчатые многогранники
- Звёздчатый многоугольник – правильные звёздчатые многоугольники
Примечания
править- ↑ Conway, 2008.
- ↑ Джонсон предложил также термин полихорон для названия 4-мерных многогранников как аналог трёхмерных многогранников (polyhedron) и двумерных многоугольников (polygon) как производная от греческих слов πολύ ("много") и χώρος ("пространство", "помещение")
- ↑ "Convex and abstract polytopes", Programme and abstracts, MIT, 2005. Дата обращения: 23 февраля 2016. Архивировано 29 ноября 2014 года.
- ↑ Johnson (2015), Chapter 11, Section 11.5 Spherical Coxeter groups
- ↑ Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f(α,β,γ) p. 122 2. The Schläfli-Hess polytopes
Литература
править- H.S.M. Coxeter. Introduction to Geometry. — 2nd. — John Wiley & Sons Inc., 1969. — ISBN 0-471-50458-0.
- H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes[англ.]. — 3rd (1947, 63, 73). — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
- D. M. Y. Sommerville. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. — New York.
- Dover Publications, 1958
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 26, Regular Star-polytopes // The Symmetries of Things. — 2008. — С. 404–408. — ISBN 978-1-56881-220-5.
- Edmund Hess. Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder. — 1883.
- Edmund Hess. Uber die regulären Polytope höherer Art. — Marburg: Sitzungsber Gesells Beförderung gesammten Naturwiss, 1885. — С. 31-57.
- H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
- (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
- H.S.M. Coxeter. Regular Complex Polytopes. — 2nd. — Cambridge University Press, 1991. — ISBN 978-0-521-39490-1.
- Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — Cambridge University Press, 2004. — ISBN 0511058675.
Ссылки
править- Weisstein, Eric W. Regular polychoron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Jonathan Bowers, 16 regular 4-polytopes Архивная копия от 13 декабря 2013 на Wayback Machine
- Regular 4D Polytope Foldouts
- Catalog of Polytope Images Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine A collection of stereographic projections of 4-polytopes.
- A Catalog of Uniform Polytopes Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine
- Dimensions Архивная копия от 19 сентября 2009 на Wayback Machine 2 hour film about the fourth dimension (contains stereographic projections of all regular 4-polytopes)
- George Olshevsky[англ.] Hecatonicosachoron на Glossary for Hyperspace
- George Olshevsky[англ.] Hexacosichoron на Glossary for Hyperspace
- George Olshevsky[англ.] Stellation на Glossary for Hyperspace
- George Olshevsky[англ.] Greatening на Glossary for Hyperspace
- George Olshevsky[англ.] Aggrandizement на Glossary for Hyperspace
- Reguläre Polytope
- The Regular Star Polychora
Для улучшения этой статьи желательно:
|