Эйлерова характеристика

Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — целочисленная характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства $X$ обычно обозначается $\chi (X)$.

Определения

• Для конечного клеточного комплекса (в частности, для конечного симплициального комплекса) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма

  $\chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-...,$

где $k_{i}$ обозначает число клеток размерности $i$.

• Эйлерова характеристика произвольного топологического пространства может быть определена через числа Бетти $b_{n}$ как знакопеременная сумма:

  $\chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,...$

Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов.

• Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.

Свойства

• Эйлерова характеристика является гомотопическим инвариантом; то есть сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств.
  • В частности, эйлерова характеристика есть топологический инвариант.
• Эйлерова характеристика любого замкнутого многообразия нечётной размерности равна нулю.
• Эйлерова характеристика произведения топологических пространств M и N равна произведению их эйлеровых характеристик:

$\chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N).$

Эйлерова характеристика полиэдров

• Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле $\chi =\Gamma -\mathrm {P} +\mathrm {B} ,$ где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для односвязного многогранника верна формула Эйлера:

  $\Gamma -\mathrm {P} +\mathrm {B} =\chi (S^{2})=2.$

Например, Эйлерова характеристика для куба равна 6 − 12 + 8 = 2, а для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.

Формула Гаусса — Бонне

Для компактного двумерного ориентированного риманова многообразия (поверхности) $S$ без границы существует формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику $\chi (S)$ с гауссовой кривизной $K$ многообразия:

$\int \limits _{S}K\;d\sigma =2\pi \chi (S),$

где $d\sigma$ — элемент площади поверхности $S$.

• Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне для двумерного многообразия с краем.
• Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне на чётномерное риманово многообразие, известная, как теорема Гаусса — Бонне — Черна или обобщённая формула Гаусса — Бонне.
• Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Бонне, гласящий, что Эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра, делённой на $2\pi$.
• Существует комбинаторные аналоги формулы Гаусса — Бонне.

Ориентируемые и неориентируемые поверхности

Эйлерова характеристика замкнутой ориентируемой поверхности связана с её родом g (числом ручек, то есть числом торов в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением

$\chi =2-2g.\$

Эйлерова характеристика замкнутой неориентируемой поверхности связана с её неориентируемым родом k (числом проективных плоскостей в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением

$\chi =2-k.\$

Величина эйлеровой характеристики

Название	Вид	Эйлерова характеристика
Отрезок		1
Окружность		0
Круг		1
сфера		2
Тор (произведение двух окружностей)		0
Двойной тор		−2
Тройной тор		−4
Вещественная проективная плоскость		1
Лента Мёбиуса		0
Бутылка Клейна		0
Две сферы (несвязные)		2 + 2 = 4
Три сферы		2 + 2 + 2 = 6

История

В 1752 году Эйлер опубликовал формулу, связывающую между собой количество вершин, граней и рёбер трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде

$S+H=A+2,$

где S — количество вершин, H — количество граней, A — количество рёбер.

Ранее эта формула встречается в рукописях Рене Декарта, опубликованных в XVIII в.

В 1812 году Симон Люилье распространил эту формулу на многогранники с «дырками» (например, на тела наподобие рамы картины). В работе Люилье в правую часть формулы Эйлера добавлено слагаемое $(-2g),$ где $g$ — количество дырок («род поверхности»). Проверка для картинной рамы: 16 граней, 16 вершин, 32 ребра, 1 дырка: $16+16=32+2-2\cdot 1.$

В 1899 году Пуанкаре обобщил эту формулу на случай N-мерного многогранника:

$\sum _{i=0}^{N-1}{(-1)}^{i}A_{i}=1+{(-1)}^{N-1},$

где $A_{i}$ — количество i-мерных граней N-мерного многогранника.

Если считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности N, формулу можно записать в более простом виде:

$\sum _{i=0}^{N}{(-1)}^{i}A_{i}=1.$

Вариации и обобщения

• Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Литература

• Долбилин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7—12.
• Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1967.
• Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. — М.: Наука, 1984. — Т. 58. — (Популярные лекции по математике).
• Ю. М. Бурман Эйлерова характеристика Летняя школа «Современная математика», 2012, г. Дубна