Правильный косой многогранник

Правильный косой многогранник — это обобщение множества правильных многогранников, которое включает возможность непланарных граней или вершинных фигур. Коксетер рассматривал косые вершинные фигуры, которые создавали новые четырёхмерные правильные многогранники, а много позднее Бранко Грюнбаум рассматривал правильные косые грани.

Описание правильных косых многогранников

Правильные косые многогранники не являются многогранниками в привычном смысле. Как Коксетер пишет в статье THE REGULAR SPONGES, OR SKEW POLYHEDRA (Правильные губки или косые многогранники), «Заполнение гранями отличается от конечных многогранников тем, что для них понятия внутри и снаружи совершено одно и то же. Такие заполнения помогают думать о многограннике как о поверхности, а не как о теле. Чтобы получить новые многогранники, нужно изловчиться, чтобы у вершины можно было разместить больше многоугольников, чем это разрешается кристаллографическими ограничениями (сумма углов при вершине меньше $2\pi$)». Чтобы достичь такого эффекта, Петри разрешил рёбрам идти в другую сторону от плоскости, что приводит к губкам, то есть поверхностям с незакрытыми дырами (дыра одного многогранника закрывается дырой другого, так что все они образуют бесконечную губку).

История

Согласно Коксетеру в 1926 Джон Флиндерс Петри обобщил концепцию пространственных многоугольников (непланарных многоугольников) в правильные косые многогранники.

Коксетер предложил модифицированный символ Шлефли {l,m|n} для этих фигур, где {l,m} означает вершинную фигуру, m l-угольников вокруг вершины, а n — n-угольные дыры. Их вершинные фигуры являются пространственными многоугольниками, пробегающими зигзагом между двумя плоскостями.

Правильные косые многогранники, представленные символом {l,m|n}, удовлетворяют равенству:

2*cos(π/l)*cos(π/m)=cos(π/n)

Первое множество {l, m | n} представляет пять выпуклых платоновых тел и одно невыпуклое тело Кеплера — Пуансо:

{l, m | n}	Граней	Рёбер	Вершин	p	Многогранник	Порядок симметрии
{3,3| 3} = {3,3}	4	6	4	0	Тетраэдр	12
{3,4| 4} = {3,4}	8	12	6	0	Октаэдр	24
{4,3| 4} = {4,3}	6	12	8	0	Куб	24
{3,5| 5} = {3,5}	20	30	12	0	Икосаэдр	60
{5,3| 5} = {5,3}	12	30	20	0	Додекаэдр	60
{5,5| 3} = {5,5/2}	12	30	12	4	Большой додекаэдр	60

Конечные правильные косые многогранники в 4–мерном пространстве

A4 проекции плоскости Коксетера
{4, 6 | 3}	{6, 4 | 3}
Рансинированный 5-ячейник (60 рёбер, 20 вершин)	Глубокоусечённый 5-ячейник (60 рёбер, 30 вершин)
F4 проекции плоскости Коксетера
{4, 8 | 3}	{8, 4 | 3}
Рансинированный 24-ячейник (576 рёбер, 144 вершин)	Глубокоусечённый 24-ячейник (576 рёбер, 288 вершин)
Некоторые из 4-мерных правильных косых многогранников укладываются в однородные многогранники, как показано на проекциях.

Коксетер также перечислил большое число конечных правильных многогранников в своей статье "regular skew polyhedra in three and four dimensions, and their topological analogues" (правильные косые многогранники в трёхмерном и четырёхмерном пространствах и их топологические аналоги).

Подобно как бесконечные косые многогранники представляют поверхность многообразия между ячейками выпуклых однородных сот, конечные виды представляют поверхности многообразия в ячейках однородного 4-мерного многогранника.

Многогранники вида {2p, 2q | r} связаны с группой Коксетера симметрии [(p,r,q,r)], которая сводится к линейной [r,p,r] при q, равном 2. Коксетер даёт этой симметрии обозначение [[(p,r,q,r)]⁺], которая, по его словам, изоморфна его абстрактной группе (2p,2q|2,r). Связанные соты имеют расширенную симметрию [[(p,r,q,r) ]] .

{2p,4|r} представляется {2p} гранями глубокоусечённого {r,p,r} однородного 4-мерного многогранника, а {4,2p|r} представляется квадратными гранями струганного {r,p,r} (рансифицировнного).

{4,4|n} образует n-n дуопризму, и, в частности, {4,4|4} укладывается в {4}x{4} тессеракт.

{4,4| n} представляют квадратные грани дуопризм, с n-угольными гранями в качестве дыр и представляет тор Клиффорда и аппроксимацию двойного цилиндра	{4,4|6} имеет 36 квадратных граней и в перспективной проекции выглядит как квадраты, выбранные в 6,6 двойном цилиндре.	Кольцо из 60 треугольников образует правильный косой многогранник в подмножестве граней 600-ячейника.

Чётные упорядоченные решения

{l, m | n}	Граней	Рёбер	Вершин	p	Структура	Симметрия	Порядок	Связанный однородный 4-мерный многогранник
{4,4| 3}	9	18	9	1	D3xD3	[[3,2,3]+]	9	3-3 дуопризма
{4,4| 4}	16	32	16	1	D4xD4	[[4,2,4]+]	16	4-4 дуопризма или тессеракт
{4,4| 5}	25	50	25	1	D5xD5	[[5,2,5]+]	25	5-5 дуопризма
{4,4| 6}	36	72	36	1	D6xD6	[[6,2,6]+]	36	6-6 дуопризма
{4,4| n}	n2	2n2	n2	1	DnxDn	[[n,2,n]+]	n2	n-n дуопризма
{4,6| 3}	30	60	20	6	S5	[[3,3,3]+]	60	струганый 5-ячейник
{6,4| 3}	20	60	30	6	S5	[[3,3,3]+]	60	глубокоусечённый 5-ячейник
{4,8| 3}	288	576	144	73		[[3,4,3]+]	576	струганый 24-ячейник
{8,4| 3}	144	576	288	73		[[3,4,3]+]	576	глубокоусечённый 24-ячейник

Пентаграммные решения

{l, m | n}	Граней	Рёбер	Вершин	p	Структура	Симметрия	Порядок	Связанный однородный 4-мерный многогранник
{4,5| 5}	90	180	72	10	A6	[[5/2,5,5/2]+]	360	Струганый великий звёздчатый 120-ячейник
{5,4| 5}	72	180	90	10	A6	[[5/2,5,5/2]+]	360	Глубокоусечённый великий звёздчатый 120-ячейник

{l, m | n}	Граней	Рёбер	Вершин	p	Структура	Порядок
{4,5| 4}	40	80	32	5	?	160
{5,4| 4}	32	80	40	5	?	160
{4,7| 3}	42	84	24	10	LF(2,7)	168
{7,4| 3}	24	84	42	10	LF(2,7)	168
{5,5| 4}	72	180	72	19	A6	360
{6,7| 3}	182	546	156	105	LF(2,13)	1092
{7,6| 3}	156	546	182	105	LF(2,13)	1092
{7,7| 3}	156	546	156	118	LF(2,13)	1092
{4,9| 3}	612	1224	272	171	LF(2,17)	2448
{9,4| 3}	272	1224	612	171	LF(2,17)	2448
{7,8| 3}	1536	5376	1344	1249	?	10752
{8,7| 3}	1344	5376	1536	1249	?	10752

Последнее множество основано на дальнейших расширенных форм Коксетера {q1,m|q2,q3...} или с q2 неспецифицированным: {l, m |, q}.

{l, m |, q}	Граней	Рёбер	Вершин	p	Структура	Порядок
{3,6|,q}	2q2	3q2	q2	1	?	2q2
{3,2q|,3}	2q2	3q2	3q	(q-1)*(q-2)/2	?	2q2
{3,7|,4}	56	84	24	3	LF(2,7)	168
{3,8|,4}	112	168	42	8	PGL(2,7)	336
{4,6|,3}	84	168	56	15	PGL(2,7)	336
{3,7|,6}	364	546	156	14	LF(2,13)	1092
{3,7|,7}	364	546	156	14	LF(2,13)	1092
{3,8|,5}	720	1080	270	46	?	2160
{3,10|,4}	720	1080	216	73	?	2160
{4,6|,2}	12	24	8	3	S4×S2	48
{5,6|,2}	24	60	20	9	A5×S2	120
{3,11|,4}	2024	3036	552	231	LF(2,23)	6072
{3,7|,8}	3584	5376	1536	129	?	10752
{3,9|,5}	12180	18270	4060	1016	LF(2,29)×A3	36540

См. также

• Пространственный многоугольник
• Косой бесконечногранник

Литература

• Peter McMullen. Four-Dimensional Regular Polyhedra // Discrete & Computational Geometry September. — 2007. — Т. 38, вып. 2. — С. 355-387.
• H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd. — Dover Publications, Inc., 1973.. См., в частности, таблицы I и II: Regular polytopes and honeycombs, стр. 294–296.
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6. Архивная копия от 11 июля 2016 на Wayback Machine
  • (Paper 2) H.S.M. Coxeter, "The Regular Sponges, or Skew Polyhedra", Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • H.S.M. Coxeter. Regular and Semi-Regular Polytopes II // Math. Zeit. — 1985. — Вып. 188. — С. 559–591.
• H.S.M. Coxeter. Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 978-0486-40919-8.
  • H. S. M. Coxeter. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. // Proc. London Math. Soc.. — 1937. — Т. 43. — С. 33-62.
• C. W. L. Garner. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space // Canad. J. Math.. — 1967. — Т. 19. — С. 1179-1186.
• E. Schulte, J.M. Wills. On Coxeter's regular skew polyhedral // Discrete Mathematics. — 1986. — Т. 60, June–July. — С. 253–262.
• Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — Cambridge University Press, 2002. — Т. 92. — (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). — ISBN 0-521-81496-0. — doi:10.1017/CBO9780511546686.