Дуопризма

Множество однородных p, q-дуопризм
Type	Призматический однородный четырёхмерный многогранник
Символ Шлефли	{p}×{q}
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Ячейки	p q-угольных призм, q p-угольных призм
Грани	pq квадратов, p q-угольников, q p-угольников
Рёбра	2pq
Вершины	pq
Вершинная фигура	Равногранный тетраэдр
Симметрия	[p,2,q], order 4pq
Двойственный	p, q-Дуопирамида
Свойства	выпуклый, вершинно однородный
Множество однородных p, p-дуопризм
Тип	Призматический однородный четырёхмерный многогранник
Символ Шлефли	{p}×{p}
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Ячейки	2p p-gonal prisms
Грани	p2 squares, 2p p-gons
Рёбра	2p2
Вершины	p2
Нотация Коксетера	[[p,2,p]] = [2p,2+,2p], order 8p2
Двойственный	p, p-Дуопирамида
Properties	выпуклый, вершинно однородный, фасет-транзитивный

Дуопризма — многогранник, полученный прямым произведением двух многогранников, каждое размерности два и выше. Прямое произведение n-многогранника и m-многогранника — это (n+m)-многогранник, где n и m не меньше 2 (многоугольник или многогранник).

Дуопризмы наименьшей размерности существуют в 4-мерном пространстве как 4-мерные многогранники, будучи прямым произведением двух многоугольников в 2-мерном евклидовом пространстве. Точнее, это множество точек:

$P_{1}\times P_{2}=\{(x,y,z,w)|(x,y)\in P_{1},(z,w)\in P_{2}\}$,

где P₁ и P₂ — два множества точек, расположенные в многоугольниках (сомножителях). Если оба многоугольника выпуклы, такая дуопризма выпукла и ограничена призматическими ячейками.

Терминология

Четырёхмерные дуопризмы считаются призматическими 4-мерными многогранниками. Дуопризма, полученная произведением двух правильных многоугольников с той же самой длиной рёбер, называется однородной дуопризмой.

Дуопризма, полученная из n-многоугольника и m-многоугольника, называется добавлением «дуопризма» после имён базовых многоугольников, например, треугольно-пятиугольная дуопризма — это произведение треугольника и пятиугольника.

Альтернативный путь именования — это добавление префикса с указанием числа сторон базовых многоугольников, например, 3,5-дуопризма — это треугольно-пятиугольная дуопризма.

Другие альтернативные имена:

• q-угольно-p-угольная призма
• q-угольно-p-угольная двойная призма
• q-угольно-p-угольная гиперпризма

Термин дуопризма был введён Джорджем Ольшевски как сокращение от double prism (двойная призма). Джон Хортон Конвей предложил похожее имя proprism как сокращение от product prism (произведение призм). Дуопризмы являются пропризмами, образованные произведением в точности двух многогранников.

Пример 16,16-дуопризмы

Диаграмма Шлегеля Показана проекция из центра одной 16-угольной призмы и все, кроме одной, противоположные 16-угольные призмы.

Развёртка Показаны два множества 16-угольных призм. Верхняя и нижняя грани вертикального цилиндра соединены в четырёхмерном пространстве.

Геометрия 4-мерных дуопризм

Внутри 23,29-дуопризмы, спроецированной в 3-сферу. При больших m и n дуопризмы геометрически приближаются к дуоцилиндрам точно так же, как p-угольная призма приближается к цилиндру.

4-мерная однородная дуопризма получается произведение правильного n-стороннего многоугольника и правильного m-стороннего многоугольника с одинаковыми длинами сторон. Она ограничена n m-угольными призмами и m n-угольными призмами. Например, прямое произведение треугольника и шестиугольника — это дуопризма, ограниченная шестью треугольными призмами и тремя шестиугольными.

• Если m и n идентичны, результирующая дуопризма ограничена 2n одинаковыми n-угольными призмами. Например, прямое произведение двух треугольников — это дуопризма, ограниченная шестью треугольными 6 призмами.

• Если m иn равны 4, результирующая дуопризма ограничена восемью квадратными призмами (кубами) и идентична тессеракту.

m-угольные призмы соединены друг с другом m-угольными гранями и образуют замкнутый цикл. Подобным обрразом n-угольные призмы соединены друг с другом n-угольными гранями и образуют другой замкнутый цикл, перпендикулярный первому. Эти два цикла соединены друг с другом через их квадратные грани и взаимно перпендикулярны.

При стремлении m и n к бесконечности соответствующие дуопризмы приближаются к дуоцилиндру. Таким образом, дуопризмы полезны как неквадратичные приближения к дуоцилиндрам.

Развёртки

3-3	4-4	5-5	6-6	8-8	10-10
3-4	3-5	3-6	4-5	4-6	3-8

Перспективные проекции

Центрированная относительно ячейки перспективная проекция дуопризмы выглядит как тор с двумя множествами ортогональных ячеек, p-угольных и q-угольных призм.

Диаграммы Шлегеля

6-призма	6,6-дуопризма
Шестиугольная призма, спроецированная перспективно на плоскость и центрированная относительно шестиугольной грани, выглядит как два шестиугольника, соединённые (деформированными) квадратами. Подобным же образом проекция 6,6-дуопризмы в трёхмерное пространство близка тору, шестиугольному как в плоскости, так и в сечении.

(p, q)-дуопризмы идентичны (q, p)-призмам, но в проекциях выглядит различными, поскольку центрированы относительно различных ячеек.

Диаграммы Шлегеля

3-3	3-4	3-5	3-6	3-7	3-8
4-3	4-4	4-5	4-6	4-7	4-8
5-3	5-4	5-5	5-6	5-7	5-8
6-3	6-4	6-5	6-6	6-7	6-8
7-3	7-4	7-5	7-6	7-7	7-8
8-3	8-4	8-5	8-6	8-7	8-8

Ортогональные проекции

Вершинно-центрированные ортогональные проекции p, p-дуопризм имеет симметрию [2n] для нечётных значений и [n] для чётных, при этом n вершин проецируется в центр. Для 4,4 это представляет плоскость Коксетера A³ тессеракта. Проекция 5,5 идентична трёхмерному ромботриаконтаэдру.

Каркасы ортогональных проекций p, p-дуопризм

Нечётные
3-3		5-5		7-7		9-9
[3]	[6]	[5]	[10]	[7]	[14]	[9]	[18]
Чётные
4-4 (тессеракт)		6-6		8-8		10-10
[4]	[8]	[6]	[12]	[8]	[16]	[10]	[20]

Связанные многогранники

Стереографическая проекция вращающегося дуоцилиндра

Правильный косой многогранник, {4,4|n}, существует в 4-мерном пространстве как n² квадратных граней n-n дуопризмы, использующий все 2n² рёбер и n² вершин. 2n n-угольные грани можно рассматривать как удалённые. (Косые многогранники можно рассматривать таким же образом как n-m дуопризмы, но они не являются правильными.)

Дуоантипризма

Вершинная фигура p, q-дуоантипризмы , гиробифастигиум

Стереографическая проекция большой дуоантипризмы, центрированной относительно пентаграммной скрещенной антипризмы

Подобно антипризмам как альтернированным призмам существует множество 4-мерных дуоантипризм — это 4-многогранники, которые можно создать операцией альтернации, применённой к дуопризме. Альтернированные вершины создают неправильные тетраэдральные ячейки, за исключением специального случая дуопризмы 4-4 (тессеракта), при которой получается однородный (и правильный) шестнадцатиячейник. Шестнадцатиячейник является единственной однородной дуоантипризмой.

Дуопризмы , t_0,1,2,3{p,2,q}, могут быть альтернированы в , ht_0,1,2,3{p,2,q}, «дуоантипризмы», которые нельзя получить однородными. Единственное выпуклое однородное решение — тривиальный случай p=q=2, который является наименьшей по симметрии конструкцией тессеракта , t_0,1,2,3{2,2,2}, с альтернированием в шестнадцатиячейник, , s{2}s{2}.

Единственное невыпуклое однородное решение — p=5, q=5/3, ht_0,1,2,3{5,2,5/3}, , полученное из 10 пятиугольных антипризм, 10 пентаграммных скрещенных антипризм и 50 тетраэдов. Этот многогранник известен под именем большая дуоантипризма.

Многогранники k₂₂

3,3-дуопризма, −1₂₂, является первой в серии размерностей однородных многогранников, обозначенных Коксетером как серия k₂₂. 3,3-дуопризма является вершинной фигурой второй фигуры, биспрямлённого 5-симплекса. Четвёртой фигурой являются евклидовы соты, 2₂₂ Последней фигурой являются паракомпактные гиперболические соты, 3₂₂, с группой Коксетера [3_2,2,3], ${\bar {T}}_{7}$. Каждый последующий однородный многогранник строится из предыдущего (предыдущий служит его вершинной фигурой).

k21 в пространстве размерности n
Пространство	Конечное						Евклидово	Гиперболическое
En	3	4	5	6	7	8	9	10
Группа Коксетера	E₃=A₂A₁	E₄=A₄	E₅=D₅	E₆	E₇	E₈	E₉ = Ẽ₈ = E₈+	E₁₀ = T₈ = E₈++
Диаграмма Коксетера
Симметрия	[3−1,2,1]	[30,2,1]	[31,2,1]	[32,2,1]	[33,2,1]	[34,2,1]	[35,2,1]	[36,2,1]
Порядок	12	120	192	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
Граф							-	-
Обозначение	−121	021	121	221	321	421	521	621

См. также

• Многогранник и Четырёхмерный многогранник
• Выпуклый правильный четырёхмерный многогранник
• Дуоцилиндр
• Тессеракт

Литература

• H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd (1947, 63, 73). — New York: Dover Publications Inc., 1973. — С. 124. — ISBN 0-486-61480-8.
• H.S.M. Coxeter. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — 1999. — ISBN 0-486-40919-8.
  • Coxeter, H. S. M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
• Henry P. Manning. The Fourth Dimension Simply Explained. — New York: Munn & Company, 1910.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. (Chapter 26) // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
• Norman Johnson. Uniform Polytopes. — Manuscript, 1991.
  • Norman Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — Ph.D. Dissertation. — University of Toronto, 1966.

• George Olshevsky Duoprism на Glossary for Hyperspace
  • George Olshevsky Cartesian product на Glossary for Hyperspace
  • Каталог выпуклых многогранников George Olshevsky

Ссылки

• The Fourth Dimension Simply Explained—describes duoprisms as «double prisms» and duocylinders as «double cylinders»
• Polygloss — glossary of higher-dimensional terms
• Exploring Hyperspace with the Geometric Product