Двадцатиугольник

Двадцатиугольник
Двадцатиугольник
	; Правильный двадцатиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра
Символ Шлефли
Диаграмма Коксетера — Дынкина	;
Вид симметрии	Диэдрическая группа ()
Площадь
Внутренний угол
Свойства
	выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный[англ.], изотоксальный
	Медиафайлы на Викискладе

Двадцатиугольник — это многоугольник с двадцатью сторонами и двадцатью углами. Сумма внутренних углов любого двадцатиугольника составляет 3240 градусов.

Правильный двадцатиугольник

Правильный двадцатиугольник имеет символ Шлефли $\{20\}$ , и может быть построен как усечённый десятиугольник, $\mathrm {t} \{10\}$ , или дважды усечённый пятиугольник, $\mathrm {tt} \{5\}$ .

Каждый из внутренних углов в правильном двадцатиугольнике равен $162^{\circ }$ , а это значит, что каждый из внешних углов равен $18^{\circ }$ .

Площадь правильного двадцатиугольника с длиной стороны $t$ равна

A={5}t^{2}(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})\simeq 31.5687\cdot t^{2}.

Площадь многоугольника, выраженная через радиус $R$ его описанной окружности равна

A={\frac {5R^{2}}{2}}({\sqrt {5}}-1);

Поскольку площадь круга равна $\pi R^{2},$ правильный двадцатиугольник заполняет примерно $98,36~\%$ своей описанной окружности.

Точка на плоскости может быть полностью окружена правильным двадцатиугольником, квадратом и правильным пятиугольником.

Построение

Так как $20=2^{2}\cdot 5$ , правильный двадцатиугольник можно построить при помощи циркуля и линейки, или при помощи разбиения сторон правильного десятиугольника, или двойного разбиения сторон правильного пятиугольника.

Построение двадцатиугольника при помощи циркуля и линейки

Золотое сечение в правильном двадцатиугольнике

Построение правильного двадцатиугольника с заданной длиной стороны

При построении с заданной длиной стороны, дуга окружности с центром $C$ и радиусом ${\overline {CD}}$ , разделяет сегмент ${\overline {E_{20}F}}$ в отношении, равном золотому сечению.

{\frac {\overline {E_{20}E_{1}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{20}F}}{\overline {E_{20}E_{1}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618

Симметрия

Группы симметрий правильного двадцатиугольника. Симметричные вершины окрашены в одинаковые цвета. Голубые зеркала проведены через вершины, фиолетовые — через стороны. Порядки групп вращений даны в центре.

Симметрии правильного двадцатиугольника образуют диэдральную группу $\mathrm {D} _{20}$ . В ней можно выделить пять подгрупп диэдральных симметрий ( $\mathrm {D} _{10},\mathrm {D} _{5},\mathrm {D} _{4},\mathrm {D} _{2}$ и $\mathrm {D} _{1}$ ), и шесть циклических подгрупп ( $\mathrm {Z} _{20},\mathrm {Z} _{10},\mathrm {Z} _{5},\mathrm {Z} _{4},\mathrm {Z} _{2}$ и $\mathrm {Z} _{1}$ ). Все различные подгруппы симметрий правильного двадцатиугольника могут быть графически отображены диаграммой из $16$ элементов.

В данной диаграмме, предложенной Джоном Конвеем, каждая подгруппа симметрии обозначена буквой и собственным порядком.^[1] Вся группа симметрий названа $\mathrm {r} 40$ , а тривиальная подгруппа, соответствующая полному отсутствию симметрии, обозначена как $\mathrm {a} 1$ . Диэдрические группы симметрии делятся на те, оси симметрий которых проходят только через вершины ( $\mathrm {d}$ — diagonal), только через рёбра ( $\mathrm {p}$ — perpendicular) или через и то, и другое (такая подгруппа обозначена буквой $\mathrm {i}$ ). Циклические симметрии обозначены буквой $\mathrm {g}$ (англ. gyration) и своим порядком.

Группа симметрий любого неправильного двадцатиугольника образует подгруппу $\mathrm {D} _{20}$ . Среди них наиболее симметричными являются фигуры, соответствующие симметриям $\mathrm {d} 20$ (изогональный двадцатиугольник, построенный при помощи десяти зеркал с чередованием длинных и коротких рёбер) и $\mathrm {p} 20$ (изотоксальный двадцатиугольник, в котором все стороны равны между собой, но внутренние углы при вершинах чередуются). Эти две формы двойственны^[англ.] друг другу и каждая из них обладает половиной симметрий правильного двадцатиугольника.

Разбиения

Двадцатиугольник, разбитый на 180 ромбов
Правильное разбиение	Изотоксальное разбиение

По Коксетеру, любой зоногон ( $2m$ -угольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу) может быть разбит на $m(m-1)/2$ параллелограммов^[2]. В частности, это так для всех правильных многоугольников с чётным числом сторон — в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для двадцатиугольника $m=10$ , а значит, его можно разбить на $45$ параллелограммов: $5$ квадратов и $4$ набора ромбов — по $10$ в каждом. Это разбиение основано на проекции Декеракта в виде многоугольника Петри с $45$ гранями из $11520$ . Согласно данным из последовательности A006245, количество всевозможных описанных разбиений $20$ -угольника равно $18410581880$ , если зеркальные и повёрнутые копии разбиения считать различными.

Изображение декеракта и примеры разбиения 20-угольника на 45 ромбов
Декеракт

Связанные многоугольники

Икосаграмма — звёздчатый многоугольник с двадцатью сторонами, имеющий символ Шлефли $\{20/n\}$ . Есть три правильных икосаграммы с символами Шлефли $\{20/3\}$ , $\{20/7\}$ и $\{20/9\}$ . Есть также ещё 5 звёздчатых многоугольников с тем же относительным расположением вершин: $2\{10\}$ , $4\{5\}$ , $5\{4\}$ , $2\{10/3\}$ , $4\{5/2\}$ и $10\{2\}$ .

n	1	2	3	4	5
Форма	Выпуклый многоугольник	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной
Фото	$\{20/1\}=\{20\}$	$\{20/2\}=2\{10\}$	$\{20/3\}$	$\{20/4\}=4\{5\}$	$\{20/5\}=5\{4\}$
Внутренний угол	$162^{\circ }$	$144^{\circ }$	$126^{\circ }$	$108^{\circ }$	$90^{\circ }$
n	6	7	8	9	10
Форма	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной
Фото	$\{20/6\}=2\{10/3\}$	$\{20/7\}$	$\{20/8\}=4\{5/2\}$	$\{20/9\}$	$\{20/10\}=10\{2\}$
Внутренний угол	$72^{\circ }$	$54^{\circ }$	$36^{\circ }$	$18^{\circ }$	$0^{\circ }$

Более глубокие усечения правильного десятиугольника и декаграммы могут привести к изогональным (вершинно-транзитивным) промежуточным формам икосаграмм с одинаково расположенными вершинами и двумя длинами ребер.^[3]

Правильную икосаграмму {20/9} можно рассматривать как квазиусеченный десятиугольник, t{10/9}={20/9}. Аналогично декаграмма {10/3} имеет квазиусечение t{10/7}={20/7}, и, наконец, простое усечение декаграммы дает t{10/3}={20/3}.

Икосаграммы, как усечения правильных десятиугольников и декаграмм, {10}, {10/3}.
Квазирегулярный					Квазирегулярный
t{10}={20}					t{10/9}={20/9}
t{10/3}={20/3}					t{10/7}={20/7}

Многоугольники Петри

Правильный двадцатиугольник является многоугольником Петри для ряда политопов, что показано в ортогональных проекциях на плоскость Коксетера^[англ.]:

A₁₉	B₁₀		D₁₁	E₈	H₄	½2H₂	2H₂
19-симплекс	10-ортоплекс^[англ.]	Декеракт	11-полукуб	(4₂₁)	Шестисотячейник	Великая антипризма^[англ.]	10-10 дуопирамида^[англ.]	10-10 дуопризма

Он также является многоугольником Петри для икосаэдрального 120-ячейника^[англ.], малого звездчатого 120-ячейника^[англ.], великого икосаэдрического 120-ячейника^[англ.] и большого великого 120-ячейника^[англ.].

Примечания

↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275—278)
↑ Коксетер, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141
↑ The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994), Metamorphoses of polygons, Branko Grünbaum

[1] John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275—278)

[2] Коксетер, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141

[3] The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994), Metamorphoses of polygons, Branko Grünbaum

[1]

[2]

[3]