Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Если граничная ломаная не имеет точек самопересечения, многоугольник называется простым[1]. Например, треугольники и квадраты — простые многоугольники, а пентаграмма — нет.

Различные типы многоугольников

Точки перелома ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника. Число сторон многоугольника совпадает с числом его вершин[2].

Правильный тринадцатиугольник — многоугольник, у которого 13 равных сторон, углов и 13 вершин.

Варианты определений

править

Существуют два различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым[1]:

  • одномерный многоугольник — замкнутая ломаная (не обязательно плоская) без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
  • двумерный многоугольник, или многоугольная фигура — часть плоскости, ограниченная замкнутой плоской ломаной без самопересечений; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве, произвольные отрезки непрерывных кривых вместо отрезков прямых и др.[1]

Связанные определения

править
  • Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
  • Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
  • Общая длина всех сторон многоугольника называется его периметром.
  • Диагоналями называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
  • Углом (или внутренним углом) плоского многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине. Угол может превосходить   в том случае, если многоугольник невыпуклый. Число углов простого многоугольника совпадает с числом его сторон или вершин.
  • Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В случае невыпуклого многоугольника внешний угол — разность между   и внутренним углом, он может принимать значения от   до  .
  • Перпендикуляр, опущенный из центра вписанной окружности правильного многоугольника на одну из сторон, называется апофемой.

Виды многоугольников и их свойства

править
 
Многоугольник, вписанный в окружность
 
Многоугольник, описанный около окружности

Общие свойства

править

Неравенство треугольника

править

Неравенство треугольника влечёт, что любая сторона многоугольника меньше суммы остальных его сторон.

Сумма внутренних углов простого плоского  -угольника равна[4]  . Сумма внешних углов не зависит от числа сторон и всегда равна  

  • Число диагоналей всякого  -угольника равно  .

Площадь

править

Пусть   — последовательность координат соседних друг другу вершин  -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

 , где  .

Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона [5].

Площадь правильного  -угольника вычисляется по одной из формул[6]:

  • половина произведения периметра  -угольника на апофему:
  •  .
  •  
  •  

где   — длина стороны многоугольника,   — радиус описанной окружности,   — радиус вписанной окружности.

Квадрируемость фигур

править

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура   называется квадрируемой, если для любого   существует пара многоугольников   и  , таких, что   и  , где   обозначает площадь  .

Ориентированный многоугольник

править
 
Выпуклый ориентированный многоугольник с отрицательной ориентацией площади

Рассмотрим произвольный многоугольник (не обязательно на плоскости), то есть замкнутую ломаную линию[7][8][9].

Ориентированный многоугольник, или замкнутый многоугольный путь, — многоугольник (возможно, самопересекающийся), у которого (см. рисунок справа с выпуклым многоугольником)[7][8][9]:

  • на каждой стороне задано направление, то есть одна из вершин стороны выбрана начальной, а другая — конечной;
  • начало каждой стороны есть конец предыдущей.

Ориентация площади простого многоугольника — площадь области плоскости, ограниченной ориентированным простым (то есть не самопересекающимся) плоским многоугольником, назначается положительной, если обход многоугольника по направлению его сторон происходит против часовой стрелки, то есть эта область плоскости остаётся слева при обходе, и отрицательной в противоположном случае (см. рисунок справа с отрицательной ориентацией площади)[7][8][9].

Определим площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника, который делит плоскость на фиксированное количество связных кусков[7][8].

Коэффициент куска самопересекающегося ориентированного многоугольника — разность  , где числа   и   получаются следующим образом[7][8]:

  • точка, внешняя по отношению к многоугольнику части плоскости, соединяется отрезком с внутренней точкой выбранного куска;
  • направленный многоугольник пересекает этот отрезок   раз слева направо и   справа налево.

Утверждение 1. Коэффициент куска самопересекающегося ориентированного многоугольника не зависит от положения внешней точки многоугольника и может быть равен положительному или отрицательному целому числу или нулю[7][8].

Площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника — взвешенная сумма обычных площадей всех кусков самопересекающегося многоугольника, в которой обычная площадь куска умножается на его коэффициент[7][8].

Практическое применение. Площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника важна для теории математических приборов[англ.], в частности, для теории планиметра. В этом случае площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника равна следующим величинам:

где соответственно конец радиус-вектора   или ордината   один раз пробегают данный замкнутый многоугольный путь[7].

Вариации и обобщения

править
  • Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.

Примечания

править
  1. 1 2 3 Многоугольник // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 749—752. Архивировано 16 октября 2013 года.
  2. 1 2 3 Элементарная математика, 1976, с. 383—384.
  3. Картаслов.ру
  4. Элементарная математика, 1976, с. 499.
  5. Хренов Л. С. Вычисление площадей многоугольников по способу Саррона Архивная копия от 19 июля 2020 на Wayback Machine // Математическое просвещение. 1936. Выпуск 6. С. 12—15
  6. Элементарная математика, 1976, с. 503—504.
  7. 1 2 3 4 5 6 7 8 Многоугольник, 1974, 376.
  8. 1 2 3 4 5 6 7 Делоне Б. Н. Многоугольник, 1988.
  9. 1 2 3 Сидоров Л. А. Многоугольник, 1982, 749.

Источники

править

Литература

править
  • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.

Ссылки

править