Неравенство треугольника

Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон (или равносильная формулировка — длина наибольшей стороны меньше суммы длин двух других сторон).

Евклидова геометрия

Длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других.

Неравенство

$AC\leqslant AB+BC,$

выполняется в любом треугольнике $\triangle ABC$. Причём равенство $AC=AB+BC$ достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка $B$ лежит на отрезке $AC$.

Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.

Нормированное пространство

Пусть $(X,\|\cdot \|)$ — нормированное векторное пространство, где $X$ — произвольное множество, а $\|\cdot \|$ — определённая на $X$ норма. Тогда по определению последней справедливо:

$\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|,\quad \forall x,y\in X.$

Гильбертово пространство

В гильбертовом пространстве, неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского.

Метрическое пространство

Пусть $(X,\rho )$ — метрическое пространство, где $X$ — произвольное множество, а $\rho$ — определённая на $X$ метрика. Тогда по определению последней

$\rho (x,y)\leqslant \rho (x,z)+\rho (z,y),\quad x,y,z\in X.$

Вариации и обобщения

• $d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))$ Сильное неравенство треугольника

Обратное неравенство треугольника

Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:

• ${\bigl |}\|x\|-\|y\|{\bigr |}\leqslant \|x-y\|,\quad x,y\in X;$
• $|\rho (x,y)-\rho (x,z)|\leqslant \rho (y,z),\quad x,y,z\in X.$

Неравенство треугольника для трёхгранного угла

См. также: Сферическая геометрия

Каждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Произвольное число точек

Обозначим $\rho (x_{i},x_{j})$ расстояние между точками $x_{i}$ и $x_{j}$. Тогда имеет место следующее неравенство: $\rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+...+\rho (x_{m-1},x_{m})$. Оно получается последовательным применением неравенства треугольника для трех точек: $\rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+\rho (x_{3},x_{m})\leqslant ...$

См. также

• Неравенство четырёхугольника
• Теорема о внешнем угле треугольника