Сферическая геометрия
Сферическая геометрия — раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры на поверхности сферы. Сферическая геометрия возникла в древности в связи с потребностями географии и астрономии.
![](http://up.wiki.x.io/wikipedia/commons/thumb/0/04/Great_circle_hemispheres.png/250px-Great_circle_hemispheres.png)
![](http://up.wiki.x.io/wikipedia/commons/thumb/5/56/Small_circle.svg/200px-Small_circle.svg.png)
![](http://up.wiki.x.io/wikipedia/commons/thumb/5/50/RechtwKugeldreieck.svg/250px-RechtwKugeldreieck.svg.png)
Основные понятия
править- Большой круг — это круг, который делит шар (сферу) на две равные половины. Центр большого круга всегда совпадает с центром сферы. На глобусе, к примеру, все меридианы являются большими кругами. А вот из параллелей только экватор является большим кругом. Все остальные параллели — это малые круги.
- Большие круги на поверхности сферы играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Кратчайший путь между любыми двумя точками пройдёт по линии большого круга.
- Через любые две точки на поверхности сферы, кроме диаметрально противоположных, можно провести единственный большой круг. Через диаметрально противоположные точки на сфере можно провести сколько угодно больших кругов.
- Любые два больших круга пересекаются по прямой, проходящей через центр сферы, а окружности больших кругов пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.
- При пересечении двух больших кругов образуются четыре сферических двуугольника. Площадь двуугольника определяется формулой , где — радиус сферы, а — угол двуугольника в радианах.
- Три больших круга, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников. Сферический треугольник, все стороны которого меньше половины большого круга, называется эйлеровым. Помимо трёх признаков равенства плоских треугольников, для сферических треугольников имеет место ещё один: два сферических треугольника равны, если их соответствующие углы равны.
- Стороны сферического треугольника измеряют величиной угла, образованного радиусами сферы, проведёнными к концам данной стороны. Каждая сторона сферического треугольника меньше суммы и больше разности двух других. Сумма всех сторон сферического треугольника всегда меньше . Сумма углов сферического треугольника всегда меньше и больше . Величина называется сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется по формуле Жирара .
Соотношения между элементами сферического треугольника изучает сферическая тригонометрия.
См. также
правитьЛитература
править- Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1988. — Т. 29. — С. 1—146.
- Берже М. Геометрия. / Пер. с франц., в 2 т. — М.: Мир, 1984. — Т. II, ч. V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
- Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л.-М., 1948.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.
- Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990.
- Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.: УРСС, 2007.