Вырождение (математика)

Вырожденными называют математические объекты, обладающие принципиально более простой структурой и смыслом по сравнению с остальными объектами в своём классе, то есть такие, которые, даже будучи взятыми вместе, не дают полного представления о всём классе. Предельно простые объекты называют тривиальными.

Примеры в геометрии

• вырожденный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на одной прямой.
  Эквивалентные формулировки:

• вырожденный треугольник — треугольник, площадь которого равна нулю;
• вырожденный треугольник — треугольник, для которого неравенство треугольника обращается в равенство.

• двуугольник — многоугольник с двумя углами, его стороны лежат на одной прямой, а угол равен 0°. Из него также образуются вырожденные звёздчатые многоугольники.
• Вырожденное коническое сечение, уравнение является приводимым многочленом.

Примеры в линейной алгебре

• вырожденная матрица — это матрица, определитель которой равен нулю;
• вырожденный оператор — оператор, отображающий всё пространство на некоторое его собственное подпространство;

Другие примеры

• вырожденное решение — решение задачи, в котором число ненулевых элементов меньше «нормального»
• вырожденная точка действительнозначной дважды дифференцируемой функции — это её критическая точка, в которой вторая производная равна нулю;
• вырожденный узел (дифференциальных уравнений) — все без исключения интегральные кривые проходят через особую точку, касаясь одного направления.
• вырожденные интегральные уравнения.
• вырожденные эллиптические координаты.
• вырожденная гипергеометрическая функция получается в результате предельного перехода в решении дифференциального уравнения Римана.
• вырожденные гипергеометрические ряды.
• вырожденное ядро — ядро определённого вида интегрального уравнения Вольтерры
• метод вырожденных ядер — один из методов построения аппроксимирующего уравнения для приближённого решения некоторых видов интегральных уравнений.

Литература

• В.Г. Воднев, А.Ф. Наумович, Н.Ф. Наумович. Математический словарь высшей школы. — Москва: МПИ, 1989.
• Ю.А. Каазик. Математический словарь. — Москва: Физматлит, 2007. — ISBN 978-5-9221-0847-8.

• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов,сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз, 1963.
• Математический энциклопедический словарь / Ю.В. Прохоров. — Москва, 1988.
• Математическая физика (энциклопедия) / Л.Д. Фаддеев. — Москва, 1998. — ISBN 5-85270-304-4.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Degenerate (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.