Гипотеза Эллиота — Халберстама

Гипотеза Эллиота — Халберстама $EH(\theta )$ — это гипотеза о распределении простых чисел в арифметической прогрессии. Она имеет множество применений в методах решета. Название гипотеза получила в честь Питера Эллиота (англ. Peter D. T. A. Elliott) и Хайни Халберстама (англ. Heini Halberstam).

Пусть $\pi (x)$ — число простых чисел, не превышающих $x$. Если $q$ — натуральное число, а $a$ и $q$ — взаимно простые числа, то мы обозначим $\pi (x;q,a)$ — число простых чисел, не превышающих $x$ и равных $a$ по модулю $q$. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии утверждает, что

$\pi (x;q,a)\approx {\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}},$

где $a$ и $q$ взаимно просты, а $\varphi (q)$ — функция Эйлера.

Определим теперь функцию погрешности

$\Delta (x;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|,$

где максимум берется по всем $a,$ взаимно простым с $q.$

Тогда для всех $\theta <1$ и всех $A>0$ найдётся такая константа $C>0$, что выполняется

$\sum _{1\leqslant q\leqslant x^{\theta }}\Delta (x;q)\leqslant {\frac {Cx}{\ln ^{A}x}}$

для всех $x>2.$

Эта гипотеза была доказана для всех $\theta <1/2$ Энрико Бомбьери и А. И. Виноградовым. Известно, что гипотеза не выполняется в крайней точке $\theta =1.$

Гипотеза Эллиота — Халберстама имеет несколько следствий. Например, результат Дэна Голдстона утверждает, что в предположении справедливости гипотезы, существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 16. В ноябре 2013 года Джеймс Мейнард показал, что из гипотезы Эллиота — Халберстама можно получить существование бесконечного числа пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 12. В августе 2014 года группа Polymath показала, что при условии истинности обобщённой гипотезы Эллиота — Халберстама существует бесконечно много пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 6.

Литература

• Виноградов А. И. О плотностной гипотезе для L-рядов Дирихле // Изв. АН СССР. — 1965. — Т. 29, вып. 4. — С. 903–934.
• Bombieri, E. On the large sieve // Mathematica. — 1965. — Т. 12. — P. 201–225. — doi:10.1112/s0025579300005313.
• Elliott, P. D. T. A.; Halberstam, H. A conjecture in prime number theory // Symp. Math.. — 1968. — Vol. 4. — P. 59-72.
• Soundararajan, K. Small gaps between prime numbers: The work of Goldston–Pintz–Yıldırım // Bull. AMS. — 2007. — Vol. 44, № 1. — P. 1–18.