Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел.

Дирихле доказал, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах l и k справедливо следующее:

Пусть $l,k>0$ — целые числа, и $(l,k)=1$. Тогда существует бесконечно много простых чисел $p$ таких, что $p\equiv l{\pmod {k}}$.

История доказательств

Теорема в данной формулировке была доказана Дирихле аналитическими средствами в 1837 году. В дальнейшем были найдены доказательства теоремы элементарными методами. Различные такие доказательства представили Мертенс, Сельберг и Цассенхаус.

Вариации

При рассмотрении простых $p\equiv l{\pmod {k}}$ довольно часто оказывается, что их множество обладает многими свойствами, присущими множеству всех простых чисел. Существует немало теорем и гипотез, рассматривающих только простые числа из определённого класса вычетов или соотношения множеств простых чисел из разных классов вычетов.

Например, кроме основного утверждения теоремы, Дирихле доказал в 1839 году, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах $l$ и $k$:

$\lim _{s\to 1+}{\frac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s}}}}{\ln {\dfrac {1}{s-1}}}}={\frac {1}{\varphi (k)}},$

где суммирование ведётся по всем простым числам $p$ с условием $p\equiv l{\pmod {k}}$, а $\varphi$ — функция Эйлера.

Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов ${\bmod {k}}$, поскольку

$\lim _{s\to 1+}{\dfrac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s}}}}{\ln {\dfrac {1}{s-1}}}}=1,$

если суммирование ведётся по всем простым числам.

Известно, что для любых взаимно простых чисел $l$ и $k$ ряд $\sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}$, где суммирование ведётся по простым $p\equiv l{\pmod {k}}$, расходится.

См. также

• Характеры — основной математический инструмент изучения простых чисел в арифметической прогрессии

Литература

Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1986.