Арифметическая прогрессия

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага, или разности прогрессии):

[1]

Любой член арифметической прогрессии равен первому её члену, сложенному с произведением разности прогрессии на число членов, предшествующих определяемому, т. е. он выражается формулой[2]:

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. Если каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, то такая прогрессия называется возрастающей; если меньше предыдущего, то убывающей.

Арифметическая прогрессия, разность которой больше нуля (), является возрастающей. Арифметическая прогрессия, разность которой меньше нуля (), является убывающей. Если разность равна нулю (), то последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей; она будет стационарной. Эти утверждения непосредственно следуют из определения арифметической прогрессии.

Свойства

править

Общий член арифметической прогрессии

править

Член арифметической прогрессии с номером   может быть найден по формулам

 
 
где   — первый член прогрессии,   — её разность,   — член арифметической прогрессии с номером  .

Графическая интерпретация

править

Отметим, что в формулах общего члена  -й член прогрессии есть линейная функция. Поясним это так.

Если на координатной плоскости нанести точки с координатами  , где   — номер (натуральное число), а   —  -й член некоторой арифметической прогрессии, то все точки будут принадлежать графику функции, задаваемой формулой:

 

где   — это разность арифметической прогрессии, а   — её первый член [3]. Это означает, что справедлива теорема:

Для того чтобы последовательность   являлась арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы   являлась линейной функцией (от  ), заданной на множестве натуральных чисел. [4]

Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны, т. е.  .

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

править

Словесная формулировка:

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов.

Словесно-символьная формулировка: последовательность   есть арифметическая прогрессия   для любого её элемента выполняется условие

 

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

править

Сумма первых   членов арифметической прогрессии   может быть найдена по формулам

  , где   — первый член прогрессии,   — член с номером  ,   — количество суммируемых членов.
  — где   — первый член прогрессии,   — второй член прогрессии   — член с номером  .
  , где   — первый член прогрессии,   — разность прогрессии,   — количество суммируемых членов.
 , если   — нечётное натуральное число.

Формулировка ещё одного факта: для всякой арифметической прогрессии при любом   выполняется равенство:

 

Примечание:   — сумма   первых членов арифметической прогрессии.

Предыдущее свойство имеет обобщение.

Для любых натуральных  ,  ,   выполняется комплементарное свойство сумм[источник не указан 440 дней]:

 

Сумма членов арифметической прогрессии от n-го до m-го

править

Сумма членов арифметической прогрессии с номерами от   до     может быть найдена по формулам

  , где   — член с номером  ,   — член с номером  ,   — количество суммируемых членов.
 

где   — член с номером  ,   — разность прогрессии,   — количество суммируемых членов.

Произведение членов арифметической прогрессии

править

Произведением первых   членов арифметической прогрессии   называется произведение от   до  , то есть выражение вида   Обозначение:  .

Свойство произведения:

  •  .
  • Если   — нечётное натуральное число и  [5], то произведение от   до   равно произведению их среднего арифметического и членов, равноотстоящих от него[6]:
     

Число множителей-скобок   равно  , а в самом произведении   их составляет   «штук».[7]

Сходимость арифметической прогрессии

править

Арифметическая прогрессия   расходится при   и сходится при  . Причём

 

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

править

Пусть   — арифметическая прогрессия с разностью   и число  . Тогда последовательность вида   есть геометрическая прогрессия со знаменателем  .

Следствие: если последовательность положительных чисел образует геометрическую прогрессию, то последовательность их логарифмов образует арифметическую прогрессию.

Арифметические прогрессии высших порядков

править

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

3, 5, 7, 9, 11, …

Треугольные числа   также образуют арифметическую прогрессию второго порядка, их разности образуют простую арифметическую прогрессию  . Таким образом, для треугольного числа   с номером   имеет место равенство  .

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Тетраэдральные числа   образуют арифметическую прогрессию третьего порядка, их разности являются треугольными числами.

Если   — арифметическая прогрессия порядка  , то существует многочлен  , такой, что для всех   выполняется равенство  [8]

Примеры

править
  • Натуральный ряд   — это арифметическая прогрессия, в которой первый член  , а разность  . Сумма   первых членов натурального ряда называется «треугольным числом»:
 
  •   — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой   и  .
  • Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу  , то это есть арифметическая прогрессия, в которой   и  . В частности,   есть арифметическая прогрессия с разностью  .

Формула для разности

править

Если известны два члена арифметической прогрессии, а также их номера в ней, то можно найти разность как

 .

Сумма чисел от 1 до 100

править

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле

 

то есть к формуле суммы первых   чисел натурального ряда.

См. также

править

Примечания

править
  1. Такое соотношение называют рекуррентным соотношением первого порядка. Поэтому в арифметической прогрессии есть множество последовательностей, задающихся именно таким образом.
  2. Фильчаков П. Ф. Глава II. Алгебра и элементарные функции. Функции натурального аргумента (§ 75. Арифметическая прогрессия) // Справочник по элементарной математике: для поступающих в вузы : книга / под ред. чл.-кор. АН УССР П. Ф. Фильчакова. — Киев : «Наукова думка», 1972. — С. 303. — 528 с. — 400 000 экз. — УДК 51 (08)(G).
  3. Е. В. Якушева, А. В. Попов, О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. Арифметическая прогрессия и её свойства // Экзаменационные вопросы и ответы. Алгебра и начала анализа. 9 и 11 выпускные классы: учебное пособие : книга. — М. : АСТ-ПРЕСС ШКОЛА, 2004. — С. 42. — 416 с. — 8000 экз. — ББК 22.12я72. — УДК 51(G). — ISBN 5-94776-013-4.
  4. Шахмейстер А. Х. Прогрессии. Арифметическая прогрессия // Множества. Функции. Последовательности. Прогрессии : книга / А. Х. Шахмейстер, под общ. ред. Б. Г. Зива. — 2-е изд., испр. и доп. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2008. — С. 135. — 296 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 3000 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512(G). — ISBN 978-5-94057-423-1. — ISBN 978-5-98712-027-9. — ISBN 978-5-91673-006-7.
  5. При   произведение   равно  , что безусловно верно.
  6. Эту формулу удобно использовать для выполнения итераций в программном коде, так как результат зависит от значения только двух величин: постоянного числа — разности, и члена, стоящего ровно по середине между первым и  -м членом.
  7. Пример применения формулы. Пусть  , где  .
    По формуле   найдём произведение пяти первых членов. Количество сомножителей должно равняться  . Причём первым сомножителем будет  .
    Далее    .
    Наконец,  .
  8. Бронштейн, 1986, с. 139.

Литература

править
  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1986. — 544 с.

Ссылки

править