то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага, или разности прогрессии):
Любой член арифметической прогрессии равен первому её члену, сложенному с произведением разности прогрессии на число членов, предшествующих определяемому, т. е. он выражается формулой[2]:
Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. Если каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, то такая прогрессия называется возрастающей; если меньше предыдущего, то убывающей.
Арифметическая прогрессия, разность которой больше нуля (), является возрастающей. Арифметическая прогрессия, разность которой меньше нуля (), является убывающей. Если разность равна нулю (), то последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей; она будет стационарной. Эти утверждения непосредственно следуют из определения арифметической прогрессии.
Отметим, что в формулах общего члена -й член прогрессии есть линейная функция. Поясним это так.
Если на координатной плоскости нанести точки с координатами , где — номер (натуральное число), а — -й член некоторой арифметической прогрессии, то все точки будут принадлежать графику функции, задаваемой формулой:
где — это разность арифметической прогрессии, а — её первый член [3].
Это означает, что справедлива теорема:
Для того чтобы последовательность являлась арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы являлась линейной функцией (от ), заданной на множестве натуральных чисел. [4]
Доказательство
Необходимость. Пусть арифметическая прогрессия. Тогда, как было уже показано, , то есть . Так как есть линейная функция и , это значит, что и , т. е. — линейная функция, где .
Достаточность. Пусть есть линейная функция, т. е. . Так как и , то , тогда .
Рассмотрим .
Отсюда следует, что , где — величина постоянная. Тогда , а это значит по определению, что — арифметическая прогрессия.■
Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны, т. е. .
Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов.
Словесно-символьная формулировка: последовательность есть арифметическая прогрессия для любого её элемента выполняется условие
Доказательство характеристического свойства арифметической прогрессии
Необходимость.
Поскольку — арифметическая прогрессия, то для выполняются соотношения:
.
Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим .
Достаточность.
Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду . Поскольку соотношения верны при всех , с помощью математической индукции покажем, что .
База индукции :
— утверждение истинно.
Переход индукции:
Пусть наше утверждение верно при , то есть . Докажем истинность утверждения при :
Но по предположению индукции следует, что . Получаем, что
Итак, утверждение верно и при . Это значит, что .
Обозначим эти разности через . Итак, , а отсюда имеем для . Поскольку для членов последовательности выполняется соотношение , то это есть арифметическая прогрессия.■
Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам
, где — первый член прогрессии, — член с номером , — количество суммируемых членов.
— где — первый член прогрессии, — второй член прогрессии — член с номером .
, где — первый член прогрессии, — разность прогрессии, — количество суммируемых членов.
, если — нечётное натуральное число.
Доказательство
Запишем сумму двумя способами:
— та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке.
Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:
Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде . Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:
Получили, что каждое слагаемое не зависит от и равно . В частности, . Поскольку таких слагаемых , то
Третья формула для суммы получается подстановкой вместо . Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена.
Замечание:
Вместо в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых , так как они все равны между собой.
Формулировка ещё одного факта: для всякой арифметической прогрессии при любом выполняется равенство:
Примечание: — сумма первых членов арифметической прогрессии.
Доказательство
1. Очевидно, что или
Прибавим к обеим частям и получим, что
2. Покажем, что
Это так, поскольку можно написать верное равенство:
Из него следует, что
3. Теперь докажем, что
Перепишем последнее как
Но гораздо лучше представить это равенство в виде Видно, что это характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Значит, действительно
Пусть — арифметическая прогрессия с разностью и число . Тогда последовательность вида есть геометрическая прогрессия со знаменателем .
Доказательство
Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:
Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:
Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения .
Следствие: если последовательность положительных чисел образует геометрическую прогрессию, то последовательность их логарифмов образует арифметическую прогрессию.
Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:
1, 4, 9, 16, 25, 36, …
разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:
3, 5, 7, 9, 11, …
Треугольные числа также образуют арифметическую прогрессию второго порядка, их разности образуют простую арифметическую прогрессию .
Таким образом, для треугольного
числа с номером имеет место равенство .
Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.
Тетраэдральные числа образуют арифметическую прогрессию третьего порядка, их разности являются треугольными числами.
Если — арифметическая прогрессия порядка , то существует многочлен , такой, что для всех выполняется равенство [8]
Натуральный ряд — это арифметическая прогрессия, в которой первый член , а разность . Сумма первых членов натурального ряда называется «треугольным числом»:
— первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой и .
Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу , то это есть арифметическая прогрессия, в которой и . В частности, есть арифметическая прогрессия с разностью .
Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050.
Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле
то есть к формуле суммы первых чисел натурального ряда.
↑Такое соотношение называют рекуррентным соотношением первого порядка. Поэтому в арифметической прогрессии есть множество последовательностей, задающихся именно таким образом.
↑Фильчаков П. Ф. Глава II. Алгебра и элементарные функции. Функции натурального аргумента (§ 75. Арифметическая прогрессия) // Справочник по элементарной математике: для поступающих в вузы : книга / под ред. чл.-кор. АН УССР П. Ф. Фильчакова. — Киев : «Наукова думка», 1972. — С. 303. — 528 с. — 400 000 экз. — УДК51 (08)(G).
↑Е. В. Якушева, А. В. Попов, О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. Арифметическая прогрессия и её свойства // Экзаменационные вопросы и ответы. Алгебра и начала анализа. 9 и 11 выпускные классы: учебное пособие : книга. — М. : АСТ-ПРЕСС ШКОЛА, 2004. — С. 42. — 416 с. — 8000 экз. — ББК22.12я72. — УДК51(G). — ISBN 5-94776-013-4.
↑Шахмейстер А. Х. Прогрессии. Арифметическая прогрессия // Множества. Функции. Последовательности. Прогрессии : книга / А. Х. Шахмейстер, под общ. ред. Б. Г. Зива. — 2-е изд., испр. и доп. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2008. — С. 135. — 296 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 3000 экз. — ББК22.141я71.6. — УДК373.167.1:512(G). — ISBN 978-5-94057-423-1. — ISBN 978-5-98712-027-9. — ISBN 978-5-91673-006-7.
↑Эту формулу удобно использовать для выполнения итераций в программном коде, так как результат зависит от значения только двух величин: постоянного числа — разности, и члена, стоящего ровно по середине между первым и -м членом.
↑Пример применения формулы.
Пусть , где .
По формуле найдём произведение пяти первых членов. Количество сомножителей должно равняться . Причём первым сомножителем будет .
Далее .
Наконец, .